Report :: 지판 스쿠프와 버징 시뮬레이션
- Hwang, Il-Seok
- 8월 5일
- 16분 분량
버징 현상을 방지하기 위해 적용하는 지판의 스쿠프에 관련하여, 컴퓨터 시뮬레이션을 통해 스쿠프 곡선의 모양과 깊이 및 지판 클리어런스의 관계와 영향에 대해서 알아봅니다.
1. 개요
현악기의 지판은 길이 방향으로 가운데 부분이 살짝 오목한(스쿠프) 모습을 가지고 있습니다. 이것은 현이 진동할 때 지판에 닿는 것(버징)을 방지하기 위한 장치로 그 형상은 버징에 큰 영향을 미칩니다.
이번 연구에서는 이러한 지판 스쿠프에 관련한 몇가지 사항들을 컴퓨터 시뮬레이션을 통해 직접 눈으로 확인해 보고자 합니다.
스쿠프 정점의 위치와 깊이, 스쿠프 곡선의 모양, 버징이 생기는 부위 및 지판 클리어런스와 스쿠프 정점 깊이의 관계 등을 알아보겠습니다.
2. 기본 사항
2.1. 진동부의 구분
진동하는 현은, 개방현과 운지현으로 구분하며, 운지현은 다시 주진동부(운지점에서 브릿지까지)와 부진동부(너트에서 운지점까지)로 나눕니다. 개방현에서는 너트가 운지점의 역할을 하므로 주진동부만 존재합니다.
2.2. 현의 진동 궤적과 실제 진동 모습
주진동부는 활에 의해 현이 'V' 자 형태로 꺾이고 꼭지점이 포물선을 따라 이동하는 헬름홀츠 운동(Helmholtz motion)의 형태로 진동합니다. 하지만 부진동부는 주진동부로부터 전달된 미약한 진동과 공진에 의해 미세하고 부드러운 사인곡선 형태로 진동하게 됩니다. - Mov.1 -
** 아래의 동영상은 부진동부 궤적을 쉽게 관찰할 수 있도록 부진동부의 진폭을 크게 설정한 상태입니다.
2.3. 충돌 구간과 최대 충돌점
관련된 개념과 용어부터 정의하겠습니다.
충돌 구간 ( Impact Zone): 버징이 발생할 때, 현이 닿는 지판의 영역
침투 깊이 ( Penetration Depth ): 가상에서 현의 진동 궤적이 지판 상단 라인을 넘어 지판 내부로 침투한 깊이
최대 충돌점 ( Maximum Impact Point ): 충돌 구간 중에서 현의 충돌이 가장 강한 지점으로, 침투 깊이가 가장 큰 지점
위의 개념에 따라, 지판 위의 어떤 한 곳을 운지하거나 개방현일 때,
순간 충돌 구간 ( Instantaneous Impact Zone )
순간 침투 깊이 ( Instantaneous Penetration Depth )
순간 최대 충돌점 ( Instantaneous Maximum Impact Point )
지판 위 전 영역의 순간값들을 모두 누적했을 때는,
누적 충돌 구간 ( Cumulative Impact Zone )
누적 침투 깊이 ( Cumulative Penetration Depth )
누적 최대 충돌점 ( Cumulative Maximum Impact Point )
으로 표현하겠습니다.
'누적 충돌 구간'은 모든 순간 충돌 구간의 합집합입니다.
'누적 침투 깊이'는 모든 운지점의 순간 침투 깊이의 누적값입니다.
'누적 최대 충돌점'은 누적 침투 깊이가 최대인 지판의 지점입니다.
조건이 모두 동일할 때, 순간/누적 충돌 구간은 현의 진폭이 클수록 넓어지며, 운지점의 위치가 바뀌면 순간 충돌 구간과 순간 최대 충돌점의 위치가 바뀝니다.
충돌 구간은 현의 진동 궤적(포물선, 사인파 등)에 따라 달라집니다.
헬름홀츠 운동에서 현의 꼭지점 궤적은 기본적으로 포물선 형태를 가지므로, 현 전체가 포물선 형태로 진동하는 경우와 헬름홀츠 운동을 하는 경우 모두 충돌 구간과 최대 충돌점의 위치는 동일하게 유지됩니다.
헬름홀츠 운동에서 다운 보잉과 업 보잉은 현의 운동 방향만 반전시킬 뿐, 진동 궤적의 형상과 이에 따른 충돌 구간 및 최대 충돌점의 위치에는 영향을 미치지 않습니다.
본 시뮬레이션에서는 주진동부의 현 진동에는 헬름홀츠 운동과 다운 보잉 조건을 적용하고, 부진동부에는 사인파 형태의 진동을 적용합니다.
* 개방현의 경우에는 '순간' 항목만 존재하며, 운지현의 경우에는 별도의 표기가 없는 한 모두 '누적' 항목을 의미합니다.
2.4. 현의 최대 진폭
현의 진폭이 크다면 지판의 스쿠프(Scoop)도 그에 맞게 깊어야 하며, 진폭이 작다면 얕아야 합니다. 지판과 현 사이의 간격 역시 같은 원리가 적용됩니다.
따라서 현의 진폭을 아는 것은 매우 중요합니다. 그러나 실제 현의 진폭은 계산만으로 정확하게 결정하기 어렵습니다. 이는 현의 진폭을 결정하는 활의 속도, 활의 위치, 압력, 현의 재질, 감쇠 특성 등 다양한 물리적 요소들을 일반화하기 어렵기 때문입니다.
하지만 모든 물리적 파라미터가 동일하다고 가정한다면, 각 현 사이의 상대적인 진폭 비율은 계산 가능합니다.
예를 들어, E현의 최대 진폭이 2 mm라고 가정하고, 활의 속도, 활의 접촉 위치, 가하는 압력 등 모든 물리적 조건이 E현과 G현에서 동일하고, 두 현 모두 정상적인 발음 상태라고 가정하면, 헬름홀츠 운동에서의 진폭(A)은 기본 진동수(F)에 반비례하므로 E현과 G현의 진폭 비율은 아래와 같이 각 현의 기본 주파수만으로 간단히 계산할 수 있습니다.
E현=659.25Hz, G현=196.00Hz 라면,
Ag / Ae = Fe / Fg = 659.25 / 196.00 ≈ 3.36 (1)
* Ag,Ae: G, E현의 진폭, Fg, Fe: G, E현의 주파수
따라서 이론적으로는 G현의 진폭이 E현보다 약 3.36배 크다고 계산됩니다.
이에 따라 단순하게 생각한다면, 스쿠프 깊이와 지판-현 간격도 G현 쪽이 약 3배 이상 커야 합니다. 그러나 실제 악기에서는 E현과 G현의 진폭비가 이론값과 다르며, 지판 역시 이러한 비율로 제작되지 않습니다.
예를 들어 E현의 지판-현 간격이 3.5 mm라면, 위 비율을 적용한 G현의 지판-현 간격은 약 11.7 mm가 되므로 연주할 수 없는 상태가 됩니다.
존 셸렝(John C. Schelleng)의 이론에 따르면, 바이올린 현이 정상적인 헬름홀츠 진동을 내려면 현마다 적절한 '활의 속도와 압력 범위'를 지켜야 합니다. 예를 들어 E현에 맞는 가벼운 압력으로 G현을 켜면 현이 겉도는 소리(Flautando)나 잡음이 나고, 반대로 G현용 강한 압력을 E현에 가하면 긁히는 소리가 나면서 올바른 진동이 깨집니다.
또한 G현은 휨 강도나 비틀림 파동 같은 물리적 한계 때문에 실제 최대 진폭이 이론치(3.36배)보다 작아집니다. 여기에 연주자가 무의식적으로 진폭을 줄이는 연주 습관까지 더해져, 실제 E현 대비 G현의 진폭 비율은 크게 줄어들게 됩니다.
따라서 본 시뮬레이션에서는 일반적인 제작 및 세팅 값을 바탕으로 각 현의 최대 진폭을 추정하며, 현의 진폭은 현의 길이에 반비례한다고 가정했습니다.
그리고 최대 진폭은 '개방현의 최대 진폭'과 '운지현의 최대 진폭'으로 나누겠습니다. 지판 위 전 영역을 운지했을 때 지판과 닿지 않는 현의 최대 진폭을 '운지현의 최대 진폭'으로 정의하며, 따라서 '개방현의 최대 진폭'은 개방현 상황에서만 적용됩니다. 운지현은 운지점에서 지판과 현이 닿아 있지만, 개방현은 너트에 의해 현이 지판과 떨어져 있으므로 개방현의 최대 진폭은 항상 운지현의 최대 진폭보다 큽니다.
3. 시뮬레이션의 준비
3.1. 시뮬레이터의 설명
본 연구에 사용한 시뮬레이터에 대한 설명입니다.
* 시뮬레이터 : 본인 제작, 파이썬 3.10
A : 현과 지판을 세로 방향으로 확대한 모습
B : 현과 지판의 실제 비율 모습
C : 현 - 주진동부
D : 현 - 부진동부
E : 너트
F : 운지점 (손가락 위치)
G : 브릿지
H : 현의 궤적 (포락선, 최대 진폭일 때)
I : 지판 (상단 라인)
J : 지판 스쿠프의 가장 깊은 곳의 위치 (너트에서의 거리)
K : 지판 스쿠프의 가장 깊은 곳의 깊이
L : 충돌 구간
M : 주진동부의 최대 충돌점 (너트에서의 거리)
N : 부진동부의 최대 충돌점 (너트에서의 거리)
O : 주진동부+부진동부의 합계 최대 충돌점 (너트에서의 거리)
P : 현과 지판의 간격 (너트 클리어런스)
Q : 현과 지판의 간격 (지판 클리어런스)
R : 충돌 구간의 너트 쪽 끝단 위치 (너트에서의 거리)
S : 충돌 구간의 브리지 쪽 끝단 위치 (너트에서의 거리)
T : 현의 최대 진폭
U : 개방현/운지현 선택
V : 현의 진동 궤적의 곡선 모양 선택
W : 지판 스쿠프의 곡선 모양 선택
X : 그 외 파라미터 설정
* 이후 별도의 표기가 없는 경우 클리어런스는 '지판 클리어런스'를 의미합니다.
3.2. 기준 조건
일부 파라미터는 고정값을 사용합니다.
운지 간격 (Finger Space) : 5mm
지판 길이 (FB Length) : 270mm
현 길이 (ST Length) : 330mm
* 감쇠비 (Sub DR) : 5%
* 충돌 제외 구간 (Excl Zone) : ±10mm
* 위상 간격 (Phs Step) : 0.05
지판 스쿠프 곡선 : 포물선
* 감쇠비 : 주진동부 진폭에 대한 부진동부의 진폭 비율
* 충돌 제외 구간: 현을 운지하면 손가락 면적만큼 현이 지판에 밀착됩니다(운지 구간). 운지 구간 바로 옆은 현과 지판 사이 간격이 매우 좁아 미세한 진동으로도 버징이 발생할 수 있습니다. 하지만 이 부근의 버징은 사람이 인지할 수 없을 만큼 미미하므로 시뮬레이션 계산에서 제외하는 것이 타당합니다.
따라서 운지 구간과 그 인접 영역 일부를 합쳐 '충돌 제외 구간'으로 설정하여 충돌이 발생하지 않은 것으로 간주합니다. 단, 이 값은 직관적 추정치입니다.
* 위상 간격 : 지판 충돌 검사를 위한 각도 증분으로, 하나의 현 진동 사이클을 일정 각도로 촘촘히 나누어서 충돌을 검사하며, 이때 얼마나 촘촘히 나눌 것인지를 설정하는 값.
시뮬레이션을 위해서는 어떤 출발점(기준)이 필요합니다. 이를 '기준 조건(Reference conditions)'이라 정하고 바이올린 제작 시 일반적으로 많이 쓰이는 세팅값을 사용하였습니다.
Violin | 1st String (mm) | 4th String (mm) | Ratio - 1st : 4th |
Clearance-Nut | 0.30 | 0.50 | 1 : 1.67 |
a. Clearance-FB | 3.50 | 5.50 | 1 : 1.57 |
b. Vertex Depth | 0.30 | 0.70 | 1 : 2.33 |
Vertex Position | 135.00* | 135.00* | - |
Max Amp (Open) | 2.03 | 3.48 | 1 : 1.71 |
Max Amp (Stopped) | 1.45 | 2.56 | 1 : 1.77 |
Ratio - b : a | 1 : 11.67 | 1 : 7.86 | - |
Table 1: Reference conditions for the 1st and 4th violin strings used in the simulation. (Denotes distance from the nut)*
위의 Table 1은 1,4번 현의 기준 조건입니다. 오렌지색이 기준 조건이며, 초록색은 기준 조건을 분석한 결과입니다. 두 개의 최대 진폭은, 해당 조건에서 버징이 발생하지 않는 최대 진폭이며 시뮬레이션을 통해 찾아낸 값입니다. (최대 진폭은 충돌 제외 구간 설정에 따라 미세하게 바뀔 수 있습니다.)
분석 내용에서 주목할 사항은,
기준 조건에서 4번 현의 최대 진폭은 1번 현보다 약 1.7~1.8배 크다. (개방현, 운지현 모두)
라는 사실입니다. 이것은 기준 조건을 어떻게 설정하느냐에 따라 바뀌는 값이지만, 기준 조건이 일반적으로 많이 사용하는 바이올린 세팅값이라는 점에서 본다면 실제 바이올린의 1,4번 현 최대 진폭 비율은 1.7~1.8 정도라고 유추할 수 있습니다. 이 값은 클리어런스와 스쿠프의 깊이 등을 결정할 때 중요한 참고값이 될 수 있습니다.
아래의 Mov.2 는 기준 조건 1번 현의 최대 진폭(개방현, 운지현)을 찾는 간단한 영상입니다.
4. 시뮬레이션
스쿠프와 버징의 관계적 특성이라고 볼 수 있는 주제부터 차례대로 확인하겠습니다.
4.1. 버징 현상의 주체
버징이 발생하는 곳이 주진동부인지 부진동부인지, 또는 양측 모두에서 발생하는지 살펴보겠습니다.
(부진동부는 운지현에만 존재하므로 이 검토는 운지현을 대상으로 합니다.)
주진동부는 활의 마찰력이 현을 직접 진동시키지만, 부진동부는 운지점을 통과해 전달된 진동과 그것의 공명 증폭으로 진동합니다. 진동 전달량을 직접 측정한 자료는 찾기 어려우나, 진폭 기준으로 주진동부의 약 1% 수준으로 추정됩니다.*
* 이론적 추정치로, 운지한 손가락을 현에 매달린 질량으로 보고 계산한 값으로, A현 조건(장력 50 N, 선밀도 0.6 g/m, 440 Hz)에 손가락 실효질량 10 g을 가정. 실제로는 손가락이 현을 지판에 밀착시켜 지판 표면이 종단 역할을 하므로, 이 모델보다 진동이 덜 통과할 것으로 예상된다.
공명은 부진동부의 고유주파수 또는 그 정수배 모드가 연주음과 일치할 때 일어납니다. 너트 부근 운지는 전달량이 크지만 아주 높은 차수의 배음에만 공명이 걸려 진폭이 작고, 지판 끝단 운지는 연주음이 높아 전달량 자체가 작습니다. 양 극단이 서로 다른 이유로 안전한 셈이므로, 두 구간의 길이가 비슷한 중간 영역이 가장 불리합니다.
그중에서도 길이비가 1:1, 1:2가 되는 지점은 부진동부의 고유음이 연주음 및 그 2배음과 정확히 일치해 공명이 가장 뚜렷하게 성립합니다. 다만 손가락이라는 불완전한 종단 때문에 실제 증폭 배수는 예측하기 어렵습니다.
따라서 부진동부의 진폭을 예측하는 대신 역으로, 기준 조건에서 부진동부의 진폭이 주진동부의 몇 %가 될 때 버징이 발생하는지 관찰했습니다. - Mov.3 -
Mov.3은 4번 현의 경우로, 부진동부 진폭이 주진동부 진폭의 34.37% 이상일 때 비로소 부진동부에서 충돌이 발생하는 것으로 확인되었습니다. (1번 현은 30.77%)
앞서 추정한 전달량이 진폭 기준 1% 수준임을 고려하면, 공명 조건이 부합하더라도 부진동부의 진폭이 주진동부의 30%에 이르기는 사실상 불가능합니다.
따라서,
기준 조건에서, 운지현의 부진동부에 버징이 발생할 가능성은 거의 없다.
라고 결론지을 수 있습니다. 이렇게 부진동부의 버징은 고려하지 않아도 되지만, 극한의 상황에 대비하여 이후 시뮬레이션에서는 부진동부 진폭을 주진동부의 5%로 설정하여 진행하겠습니다.
4.2. 지판-현 간격이 충돌 구간과 최대 충돌점의 위치에 미치는 영향
지판과 현의 간격이 좁아지면 충돌 구간과 최대 충돌점이 그쪽으로 이동할 것으로 예상됩니다. 이를 확인하기 위해 지판-현 간격을 바꾸어가며 시뮬레이션하였습니다.
아래는 4번 운지현의 기준 조건에서 너트 클리어런스(CLR.Nut)를 0.5, 0.3, 0.1, 0.01 로 변경한 결과입니다. (감쇠비 5%)
Mov.4에서는 너트 클리어런스를 0.01 까지 줄여도 충돌이 전혀 없습니다.
여기서 주목할 점은 현의 진동 궤적과 지판 스쿠프 곡선의 형상입니다. 헬름홀츠 운동에 의한 현의 진동 궤적은 포물선이고, 기준 조건의 스쿠프 곡선 역시 포물선이므로 두 곡선의 모양이 동일합니다. 따라서 이 조건에서는 너트 클리어런스를 아무리 줄여도 이론상 충돌이 일어나지 않습니다. 다만 스쿠프 곡선의 형상이 달라지면 결과도 달라지며, 이는 다음 장에서 살펴보겠습니다.
다음은 4번 개방현입니다. 운지현과 마찬가지로 너트 클리어런스를 0.5, 0.3, 0.1, 0.01 로 변경하였습니다. (개방현에도 충돌 제외 구간이 적용됩니다.) - Mov.5 -
개방현 기준 조건의 최대 진폭은, 너트쪽에서 지판과 현이 일정 간격 떨어져 있을 때 충돌이 없는 최대 진폭이었으므로 이 간격을 줄이면 당연히 충돌이 발생합니다.
Stopped String | Open String | |||
Impact Zone | Max Impact Point | Impact Zone | Max Impact Point | |
0.50 | No Impact | No Impact | No Impact | |
0.30 | 30.60 ~ 109.80 | 70.20 | ||
0.10 | 10.10 ~ 123.00 | 66.10 | ||
0.01 | 10.10 ~ 127.50 | 64.20 | ||
Table 2: Effect of Clearance-Nut on the Impact Zone and Maximum Impact Point (Stopped/Open 4th string)
Table 2 는 4번 개방현과 운지현에서 너트 클리어런스에 따른 충돌 구간과 최대 충돌점의 위치 변화를 정리한 표입니다.
* 개방현에서 충돌 구간의 최소값이 10.10으로 나온 것은 충돌 제외 구간이 10으로 설정되어있기 때문
기준 조건에서 너트 클리어런스가 줄어들면, 개방현은 충돌 구간이 넓어지고 최대 충돌점은 너트쪽으로 이동하지만, 운지현은 충돌이 전혀 없습니다.
다음은, 지판 클리어런스가 충돌 구간과 최대 충돌 지점의 위치에 미치는 영향을 알아보겠습니다.
Mov.6 과 Table 3 은 4번 현 기준 조건에서 클리어런스(CLR.FB)를 5.5, 4.5, 3.5, 2.5 로 변경한 결과 입니다.
Stopped String | Open String | |||
Clearace-FB | Impact Zone | Max. Impact Point | Impact Zone | Max. Impact Point |
5.5 | No contact | No contact | No contact | No contact |
4.5 | 15.10 ~ 126.80 | 42.70 | 36.40 ~ 153.70 | 95.00 |
3.5 | 15.10 ~ 196.20 | 75.70 | 27.40 ~ 204.10 | 115.70 |
2.5 | 15.10 ~ 250.80 | 108.60 | 22.40 ~ 250.60 | 136.50 |
Table 3: Effect of Clearance-FB on the Impact Zone and Max Impact Point - Stopped/Open 4th string -
위의 시뮬레이션에서 확인된 사항을 정리하면 다음과 같습니다.
기준 조건에서 지판 클리어런스가 줄어들면, 개방현과 운지현 모두 충돌 구간이 넓어지고(브릿지쪽으로 더 많이 넓어짐) 최대 충돌점도 브릿지쪽으로 이동한다. 충돌 구간과 최대 충돌점의 위치는 개방현이 브릿지쪽에 더 가깝다.
4.3. 스쿠프 곡선 모양이 충돌 구간과 최대 충돌점의 위치 및 최대 진폭에 미치는 영향
지판의 스쿠프 곡선을 다른 모양으로 변경했을 때 어떤 현상이 일어나는지 확인함으로써 가장 적합한 스쿠프 곡선이 무엇인지 알아보겠습니다.
곡선 후보는 포물선(기준 조건)과 사인 곡선 및 타원호입니다.
타원호는 곡선의 폭과 깊이만으로는 작성할 수 없으므로 사인 곡선과 포물선에 의해 만들어지는 닫힌 도형의 면적이라는 변수를 추가하여 제작하였습니다. - Fig. 3 -
곡선의 폭과 깊이가 주어지고, 사인 곡선과 포물선에 의해 생성되는 닫힌 도형의 면적(Fig.3-b)을 K라 할 때, 포물선과 타원호에 의해 생성되는 닫힌 도형의 면적(Fig.3-c)도 K가 되도록 타원호를 작성합니다. 즉, 타원호가 가장 U자 형태에 가깝고, 사인 곡선이 가장 V자형에 가깝습니다.(포물선은 그 중간)
아래의 Table 4 는 4번 현 기준 조건에서 지판의 스쿠프 곡선을 변경하여 테스트한 결과입니다. 타원호는 개방현과 운지현 모두 최대 진폭이 늘어났으며 사인 곡선은 줄어들었습니다. 기준 조건에서 사인 곡선의 충돌 지점은 너트 가까이에 몰려있습니다. 이것은 충돌 발생 가능성이 가장 높은 곳이 너트 부근이라는 뜻이며, 사인 곡선은 그곳이 포물선보다 더 얕고 타원호는 더 깊기 때문에 이와 같은 결과가 나타납니다. 즉, 최대 진폭에 포커스를 맞추어보면 너트 부근의 깊이가 가장 깊은 타원호가 제일 유리합니다.
Stopped String | Open String | |||||
Scoop Shape | Impact Zone | Max Impact Point | Max Amp | Impact Zone | Max Impact Point | Max Amp |
Sine wave | No Impact | No Impact | 2.43 | No Impact | No Impact | 3.44 |
15.10 ~ 35.40 | 18.70 | 2.56 | 56.00 ~ 86.20 | 71.00 | 3.48 | |
Parabola | No Impact | No Impact | 2.56 | No Impact | No Impact | 3.48 |
Ellipse | No Impact | No Impact | 2.62 | No Impact | No Impact | 3.51 |
Table 4: Effect of Scoop Shape on the Maximum Amplitude
다음은 최대 진폭을 모두 타원호의 최대 진폭으로 변경하여 확인한 결과입니다. - Table 5 -
Stopped String | Open String | |||||
Scoop Shape | Impact Zone | Max Impact Point | Max Amp | Impact Zone | Max Impact Point | Max Amp |
Sine wave | 15.10 ~ 45.70 | 22.50 | 2.62 | 51.30 ~ 93.40 | 72.10 | 3.51 |
Parabola | 15.10 ~ 40.90 | 15.80 | 2.62 | 62.40 ~ 88.40 | 75.40 | 3.51 |
Ellipse | No Impact | No Impact | 2.62 | No Impact | No Impact | 3.51 |
Table 5: Effect of Scoop Shape on the Impact Zone and Maximum Impact Point
타원호의 최대 진폭으로 고정한 뒤 곡선의 모양을 바꾸면 사인 곡선과 포물선 둘 다 개방현과 운지현 모두에서 충돌이 발생하지만 충돌 위치는 개방현과 운지현이 서로 반대 방향으로 이동하고 있습니다. 곡선의 모양이 V자에 가까워질 수록 충돌 위치가 개방현은 브릿지 쪽으로, 운지현은 너트쪽으로 이동하고 있습니다.
위의 내용을 정리하면 다음과 같습니다.
스쿠프 곡선이 U자에 가까워질 수록 최대 진폭이 커지며, V자에 가까워질 수록 충돌 구역은 넓어지고 최대 충돌점은 개방/운지현 조건에 따라 다른 방향으로 이동한다.
이상으로, 지판 스쿠프 곡선으로 가장 좋은 것은 타원호라고 말할 수 있습니다. 하지만 수치적으로 가장 좋은 타원호가 실제 연주시에도 가장 좋다고는 장담할 수 없습니다. 가장 U자 형태에 가까운 타원호는 지판 양끝단에서 경사가 제일 급하기 때문입니다.
아래의 Table 6 은 기준 조건에서 3가지 곡선의 최대 진폭과 지판의 5개 지점에서의 지판-현의 간격을 나타내고 있습니다.
Scoop Curve | Max Amp Stopped String | Max Amp Open String | Gap 1/6 | Gap 2/6 | Gap 3/6 | Gap 4/6 | Gap 5/6 |
Sine Curve | 2.43 | 3.44 | 1.68 | 2.77 | 3.70 | 4.44 | 5.02 |
Parabola | 2.56 | 3.48 | 1.72 | 2.79 | 3.70 | 4.46 | 5.06 |
Ellipse | 2.62 | 3.51 | 1.76 | 2.80 | 3.70 | 4.47 | 5.09 |
Table 6: String-FB Gap along Scoop Curve (CLR.Nut=0.5, CLR.FB=5.5, 4th String)
Gap 항목은 지판의 길이 방향 1/6 ~ 5/6 지점에서 현과의 간격으로, 3/6 지점은 스쿠프 곡선의 최저점이므로 모두 동일하고, 양 끝단(CLR.Nut, CLR.FB)역시 기준 조건이므로 모두 동일합니다.
사인 곡선과 타원호를 비교하면, 1/6, 2/6, 4/6, 5/6 지점에서 0.08, 0.03, 0.03, 0.08 의 차이가 있으나, 최대 진폭은 운지현에서 0.19, 개방현은 0.07 의 차이를 가지므로 운지현에서 많은 이득을 얻을 수 있습니다.
위의 내용으로 보아, 위에서 언급했던 지판 양끝단에서의 경사는 크게 문제되지 않을 것으로 추측됩니다. 물론 더 급격한 타원호를 사용한다면 그때는 문제가 될 수 있겠습니다.
따라서, 위의 내용은 다음과 같이 정리할 수 있을 것 같습니다.
스쿠프 곡선으로 포물선 보다 조금 더 U자형에 가까운 타원호를 사용할 경우, 클리어런스(너트,지판)및 개방현의 최대 진폭은 미세하게 커지며, 운지현의 최대 진폭은 그보다 2배 이상 더 커진다. 따라서 스쿠프 곡선으로 타원호를 사용하는 것도 고려해 볼 만하다.
4.4. 스쿠프 정점의 위치
이번에는 '스쿠프 정점의 위치', 즉, 지판의 어느 부위를 가장 깊게 만들어야하는가. 라는 주제에 대해 알아보겠습니다.
지금의 기준 조건에서는 스쿠프 정점의 위치를 지판의 중앙으로 설정하였으나, 그것이 가장 적합한 위치인지는 아직 모르는 상태입니다.
기준 조건에서 지판 스쿠프 정점의 위치를 좌우로 옮겨보면 충돌이 생기지 않는 정점의 위치가 어떤 범위(유효 정점 구간, Valid Vertex Zone)로 존재할 것이며, 그 구간의 중간점은 충돌로부터 가장 안전한 위치(안전점, Safest Positon)일 것입니다.
주의할 점은, 현재의 기준 조건은 정점의 위치를 지판 중앙으로 지정했을 때의 최대 진폭을 가정한 것이므로, 만약 정점의 위치가 바뀐다면 최대 진폭도 바뀌게 됩니다. 즉, 최대 진폭은 정점의 위치에 따라 달라질 수 밖에 없습니다.
아래의 Fig.4 는, 클리어런스와 정점 깊이를 지정하고 정점의 위치는 지정하지 않은 상태에서 최대 진폭과 유효 정점 구간을 계산한 것이며, Fig.5는 정점의 위치도 함께 지정(지판의 중앙)했을 때의 결과입니다. (4번 현 기준 조건)
프로그램은, 정점 위치를 지정하지 않은 경우에는 정해진 지오메트리(클리어런스와 정점의 깊이)에서 대응 가능한 최대 진폭과 유효 정점 구간을 찾고, 정점의 위치를 지정하면 그 정점의 위치에서 대응 가능한 최대 진폭을 찾고 그 최대 진폭을 유지할 수 있는 유효 정점 구간을 표시하도록 설계되었습니다.
유효 정점 구간에 대해 덧붙이자면, 유효 정점 구간 내에서는 정점의 위치를 어디로 설정하든 최대 진폭은 동일합니다. 따라서, 정점 위치를 135로 설정한 운지현의 경우(Fig.5의 하단 그림)에는 유효 정점 구간이 89~135 이므로 정점 위치를 89~135 범위 내에서 어디로 설정하든 최대 진폭은 항상 2.56이 됩니다.
따라서 정점의 위치를 지정하지 않은 경우와 지정했을 때의 유효 정점 구간은 다르며, 지정하지 않은 경우에는 '고유 유효 정점 구간(Inherent Valid Vertex Zone)', 지정한 경우에는 '조건부 유효 정점 구간(Conditional Valid Vertex Zone)'으로 정의하였습니다. 마찬가지로 최대 진폭 또한 정점의 위치를 지정하지 않은 경우에는 '고유 최대 진폭(Inherent Maximum Amplitude)'으로, 지정한 경우에는 '조건부 최대 진폭(Conditional Maximum Amplitude)'으로 정의하겠습니다.
위 결과를 보면, 정점 위치가 지정되지 않은 고유 최대 진폭이 더 크고 고유 유효 정점 구간은 너트 쪽에 몰려있습니다. 정점 위치를 지정할 때, 고유 유효 정점 구간 이외의 다른 곳으로 지정한다면 최대 진폭은 무조건 줄어들게 됩니다.
조건부 유효 정점 구간의 특징은, 그 범위가 고유 유효 정점 구간 쪽으로 치우친다는 사실입니다. 정점 위치를 135로 지정하면 이 숫자는 고유 유효 정점 구간에서 벗어나 있으므로 조건부 유효 정점 구간은 135를 포함하되 최대한 고유 유효 정점 구간 쪽으로 치우친 범위를 가지게 됩니다.
아래의 Fig.6 은 기준 조건에서 정점 위치 변화에 따른 최대 진폭을, Fig.7은 정점 위치 변화에 따른 유효 정점 구간의 변화를 정리한 그래프 입니다.
조건부 최대 진폭은 모두 고유 최대 진폭보다 작으며, 정점 위치가 브릿지 쪽으로 이동할 수록 그 값이 점점 더 작아지는 것을 알 수 있습니다.
즉, 최대 진폭이라는 측면에서 본다면 정점의 위치는 고유 유효 정점 구간에 가까울 수록 좋으며 브릿지 쪽으로 이동할 수록 최대 진폭을 손해보는 구조입니다.
유효 정점 구간은, 정점 위치를 브릿지 쪽으로 이동시킬 수록 점점 더 넓어집니다. 정점 위치가 브릿지 쪽으로 이동할 수록 최대 진폭이 줄어드므로 이것은 당연한 결과라고 말할 수 있습니다. 4번 현의 조건부 유효 정점 구간이 1번 현에 비해 좁은 이유는 지판의 양 끝단의 현 간격 비율이 다르기 때문입니다. 추가로, 조건부의 경우에 안전점은 의미가 없습니다. 왜냐하면 이미 정점 위치를 지정한 상태이기 때문입니다.
이상의 내용을 정리하면 다음과 같습니다.
스쿠프 정점의 위치가 지판의 약 1/3 근처에 있을 때 최대 진폭이 가장 크며, 정점의 위치를 브릿지 쪽으로 이동시킬 수록 최대 진폭은 작아지고 유효 정점 구간의 폭은 넓어진다.
따라서, 최대 진폭 측면에서 볼 때 스쿠프 정점의 위치는 지판의 중앙에서 너트 쪽으로 이동시키는 것이 좋으며 브릿지 쪽으로 이동시키는 것은 옳지 않다고 말할 수 있습니다. 그러나 정점의 위치가 너트 쪽으로 이동할 수록 너트 부근에서의 지판 경사는 급해지며, 만약 스쿠프 곡선을 타원호를 하는 추가 조치가 더해지면 지판 경사가 너무 과해질 것 입니다. 따라서 정점 위치를 지판의 중앙으로 하는 것은 타협된 결과라고 볼 수 있습니다.
최대 진폭에 조금 더 욕심을 내자면, 정점 위치를 지판 중앙으로 하되 스쿠프 곡선의 너트 쪽 절반은 타원호로, 브릿지 쪽 절반은 사인 곡선 또는 포물선으로 하는 비대칭 곡선을 사용하는 것도 시도해 볼 수 있을 것입니다.
4.5. 스쿠프 정점 깊이와 지판-현 간격의 관계
원리적으로, 버징 확률을 낮추기 위해서는 최대 진폭을 키워야 하므로 스쿠프 정점 깊이를 키우거나 클리어런스를 키워야 합니다. 따라서 정점의 위치와 최대 진폭을 고정했을 때 정점 깊이를 키우면 클리어런스는 줄여야 하며, 반대로 클리어런스를 키우면 정점 깊이를 줄여야 합니다.
이렇게 둘은 반비례 관계를 가지고 있으므로 최대 진폭이 동일한 여러 개의 조합(정점 깊이와 클리어런스의 조합)이 존재할 것입니다. 예를 들어, 2.55/5.10/0.80 (진폭/간격/깊이), 2.55/5.50/0.70 과 같은 조합이 있다면 어느 것을 선택해야 할까요?
이 문제는 지판 전 영역에 있어서 지판과 현의 간격을 살펴봐야 합니다. 만약 어느 한쪽이 지판 전 영역에서 간격이 모두 작다면, 다른 이유가 없다면 그 조합을 선택해야 할 것입니다.
본 챕터에서는, 기준 조건과 최대 진폭이 유사한 다른 조합이 있는지 찾아보고, 각 조합들의 지판 전 영역에서의 지판-현 간격을 살펴봄으로써 기준 조건과 최대 진폭은 동일하지만 더 연주하기 편한 조합이 존재하는지 알아보도록 하겠습니다.
아래의 시뮬레이션은 4번 운지현 기준 조건에서 정점 깊이를 0.1 ~ 1.0, 클리어런스를 0.1 ~ 1.0 범위에서 바꾸면서 최대 진폭을 계산한 결과입니다. - Fig.8 -
기준 조건 최대 진폭인 2.56 과 오차 ±0.01 의 조합은 3개가 존재합니다. 이제는 이 조합에 대해서 지판 전 영역에서 현과의 간격을 살펴보겠습니다.
Fig.9 는 기준 조건과 최대 진폭이 비슷한 3개의 조합에 대해서 지판 6등분 지점에서의 지판과 현의 간격을 비교하고 있습니다. 전체 간격이 가장 좁은 것은 4.80/0.90(간격/깊이) 조합이며, 간격이 가장 큰 것은 5.90/0.60 조합입니다.
* 지판 전 영역에서의 간격을 간단히 확인하려면 Area값(현과 지판으로 이루어진 닫힌 도형의 면적) 또는 Fig.8의 CLR+Depth 값을 확인해도 됩니다.
위의 결과에서 알 수 있는 사실은, 지판 전 영역에서의 간격은 지판 클리어런스에 의해 결정된다는 것입니다. 클리어런스가 제일 큰 5.90/0.60 조합이 지판 전 영역에서 지판-현 간격이 제일 크고, 클리어런스가 제일 작은 4.80/0.90조합이 지판 전 영역에서 지판-현 간격이 제일 작습니다.
따라서, 지판 전 영역에서 지판-현 간격을 줄이고 싶다면 지판 클리어런스를 줄여야 합니다.
그러나 지판 전 영역에서의 간격이 가장 좁은 조합이 무조건 좋지는 않을 것입니다. 그것은 정점 깊이가 깊다는 뜻이므로 지판이 많이 휘어있음을 의미하기 때문입니다. 따라서 지판-현 간격과 지판의 휨 사이에서 적절한 균형점을 찾아야 할 것입니다. 또한 개방현일 때의 상황과 다른 현들의 상황과도 함께 어울리는 합의점을 찾아야 합니다.
Fig.8 의 CLR/Depth는 클리어런스값을 정점 깊이값으로 나눈 값으로 두 파라미터의 비율을 의미합니다. 다른 현들과의 비교시에 이 값을 참고하면 좀 더 편하게 합의점을 찾을 수 있을 것입니다.
이번에는 개방현의 경우입니다. - Fig.10,11 -
개방현도 운지현과 마찬가지로 비슷한 경향을 보이고 있습니다.
전체적으로 보면 현재 기준 조건인 5.50/0.70(CLR/Depth=7.86) 조합보다 5.10~5.20/0.80 (CLR/Depth=6.37~6.50)조합이 더 좋은 것 같습니다. 이어서 1번 현까지 확인해 보겠습니다.
1번 운지현은 많은 조합이 발견되었는데 그중에서 CLR/Depth값이 기준 조건과 차이가 많은 것은 제외하고 6개(기준 조건 포함) 조합에 대하여 다시 전체 지판-현 간격을 알아보았습니다. (1번 현은 최대 진폭의 오차가 ±0.01인 다른 조합이 검색되지 않아서 검색 정밀도를 높였습니다.)
개방현도 운지현과 마찬가지로 CLR/Depth값의 차이가 큰 조합은 제외하고 총 6개의 조합을 확인하였습니다.
1번 현은 3.30~3.35/0.35(CLR/Depth=9.43~9.57) 조합이 눈에 띕니다.
1,4번 현 모두 스쿠프 정점의 깊이를 조금만 더 늘리면 지판 클리어런스를 많이 줄일 수 있으며 ,결과적으로 지판 전체에 있어서 현과의 거리를 더 좁힐 수 있습니다. 하지만 정점의 깊이를 늘리는 것은 지판의 휨 정도가 커진다는 것을 의미하므로 주의해야 할 것입니다. 또한 지판 클리어런스를 줄이는 것은 악기의 전체 지오메트리가 바뀌는 일이라는 것을 염두에 두어야 합니다.
악기의 사이즈가 바뀌는 경우에는 CLR/Depth값을 이용한다면 정점 깊이와 클리어런스값을 결정하는데 도움이 될 것입니다.
위의 시뮬레이션은 기준 조건과 최대 진폭이 동일한 조합에 대한 검토였으므로, 만약 기준 조건이 바뀐다면 후보 조합도 바뀌게 되며, 그 출발점은 항상 최대 진폭입니다.
5. 결론
지판 설계의 출발점은 '현의 최대 진폭'입니다. 그러나 계산에 의해서는 그것을 알 수 없기에 일반적으로 바이올린 세팅시 많이 사용하는 세팅값을 기준 조건으로 도입하고, 그 기준 조건에서 최대 진폭을 추정하였습니다.
추정된 현의 최대 진폭은 4번 현이 1번 현보다 약 1.7 ~ 1.8배 큽니다. 이 비율값은 악기의 사이즈가 바뀌는 경우 지판 설계의 출발점이 되며, 1,4번 현의 클리어런스와 스쿠프 정점 깊이를 결정하는데에 있어 중요한 역할을 하게 됩니다.
현의 진동은 운지현에서 주진동부와 부진동부로 나눌 수 있으며, 이때 부진동부에서 버징이 일어날 가능성은 거의 없습니다.
현과 지판은 서로 수평이 아니라 너트 쪽은 가깝고 브릿지 쪽은 먼 기울어진 관계를 가지고 있습니다. 이러한 관계 때문에 버징이 일어나는 곳은 주로 너트 부근이며, 지판이 기우는 쪽으로 버징 위치는 이동합니다.
스쿠프 곡선은 기본적으로 현의 진동 궤적을 따르는 것이 좋습니다. 주진동부 현의 궤적은 포물선 형태이므로 스쿠프 곡선 역시 포물선 형태가 일반적입니다. 하지만 스쿠프 곡선이 U자에 가까워질 수록 최대 진폭이 더 커지므로 경우에 따라서는 타원호 등의 곡선을 사용할 수도 있을 것입니다. 하지만 그 경우에는 스쿠프 정점의 위치도 함께 고려하여 너트 부근의 지판 경사가 과하지 않도록 주의해야 할 것입니다.
스쿠프 정점의 위치가 지판의 1/3 부근에 위치할 때 현의 최대 진폭이 최대가 되며, 정점의 위치가 이 부근에서 멀어질 수록 최대 진폭은 무조건 작아집니다. 즉, 정점의 위치를 지판의 중앙에서 브릿지 쪽으로 더 이동시키는 것은 최대 진폭의 관점에서는 큰 손해가 따릅니다.
동일한 최대 진폭을 가지는 지판 클리어런스와 스쿠프 정점의 깊이 조합은 여러 쌍이 존재할 수 있습니다. 이 조합은 위의 두 파라미터의 비율로 정의할 수 있으며, 가장 적절한 비율값, 즉 가장 적절한 조합은 많은 경험의 축적에 의해서 결정할 수 밖에 없을 것입니다.
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