Report :: 이상적인 지판 스쿠프 곡선
최종 수정일: 9월 26일
본 리포트는 앞서 공개한 '지판 스쿠프와 버징 시뮬레이션'의 후속(추가) 연구로서, 이상적인 스쿠프 곡선의 모양에 관한 연구입니다. 로그 나선, 원뿔 곡선(포물선, 쌍곡선, 타원호), 멱함수 곡선 및 이들을 사인 곡선과 이어붙여 만든 결합 곡선을 대상으로 가장 이상적인 스쿠프 곡선이 무엇인지 알아봅니다.
1. 개요
이전 연구(지판 스쿠프와 버징 시뮬레이션)의 4.3장, 4.4장과 이어지는 내용으로, 여러 가지 곡선을 대상으로 지판의 스쿠프 곡선으로 어떤 곡선이 가장 적합한지 알아봅니다.
로그 나선을 시작으로, 원뿔 곡선(포물선, 쌍곡선, 타원호) 또는 멱함수 곡선을 사인 곡선과 이어 붙여 만든 결합 곡선들에 대하여 검토하였습니다. 이전 연구에서는 너트 쪽과 브릿지 쪽에 서로 다른 곡선을 쓰는 비대칭 스쿠프 곡선을 제안하였으며, 본 연구의 결합 곡선은 이를 구체화한 것입니다.
본 연구에서는, 동일한 지오메트리(지판의 클리어런스와 스쿠프 정점의 위치와 깊이 등)에서 다음의 조건을 만족하는 곡선을 '이상적인 스쿠프 곡선'으로 가정하였습니다.
조건 1. 지판을 필요 이상으로 깎지 않을 것
조건 2. 현의 최대 진폭이 더 클 것
별도 조건. 스쿠프 정점의 위치*와 깊이를 자유롭게 조절할 수 있을 것
* 지판 시작점에서 측정한 x축상의 거리
조건 1은 연주 편의성과 효율에 관계되는 사항입니다. 최대 진폭을 얻으려면 지판을 어느 정도 깎아야 하지만, 필요 이상으로 깎으면 지판과 현의 거리만 멀어져 연주가 불편해집니다. 필요한 만큼만 깎은 곡선은 지판과 현이 가까워 연주하기 편하고, 동시에 운지현의 최대 진폭도 커집니다.
조건 2는 버징에 직접적으로 관계되는 사항으로, 최대 진폭이 클수록 버징이 발생할 확률이 줄어듭니다. 최대 진폭은 개방현일 때의 최대 진폭과 운지현의 최대 진폭으로 나누어지므로 이 둘을 더한 '합계 최대 진폭'이 커야 합니다.
조건 1을 조건 2보다 우선하는 이유는, 최대 진폭만을 기준으로 하면 지판을 깊게 파낼수록 유리해지기 때문입니다. 예를 들어 개방현만 놓고 보면 지판을 'ㄴ'자 형태로 깎는 것이 가장 유리하지만, 이는 지판과 현의 거리를 불필요하게 벌려 연주를 어렵게 합니다. 따라서 먼저 지판을 효율적으로 깎았는지를 보고, 그다음에 최대 진폭을 비교합니다.
별도 조건은 제작 자유도에 관계되는 사항으로, 정점의 위치와 깊이를 조절할 수 없다면 지판 형태가 그만큼 제한되기 때문입니다. 이 조건은 곡선의 우열이 아니라, 실제 지판에 적용할 수 있는지를 판단하는 전제 조건입니다.
단, 이상적인 곡선인지 판단하기 위해서는 연주자의 감각에 의한 평가도 필요합니다. 하지만 현실적인 이유로 그러한 정성적 평가는 제외하고 정량적 평가 항목만 조건으로 설정하였습니다.
본 리포트에서는 이전 연구에서 사용한 용어를 그대로 사용하였으며, 시뮬레이터는 일부 수정이 있었으나 연구 결과에 영향을 미치지 않으므로 추가 설명은 생략하였습니다.
* 본문에 사용된 용어는 이전 연구 보고서(지판 스쿠프와 버징 시뮬레이션)를 참고하시기 바랍니다.
* 로그 나선의 원리는 다음 자료를 참고하였습니다.
- 참고 문헌 -
Fisher, A. R. (1969). Curved finger boards for stringed musical instruments (U.S. Patent No. 3,478,631). U.S. Patent and Trademark Office.
Segerman, E. (1993). Fingerboard shapes and graded frets. FoMRHI Quarterly, 71, Comm. 1168, 40–43.
Segerman, E. (1999). Curving a fingerboard to improve the action. FoMRHI Quarterly, 94, Comm. 1621, 37–39.
2. 용어 및 개념 설명
새로 추가되거나 중요한 용어와 개념들에 대한 설명입니다.
■ 최대 진폭 (Ampmax)
진동하는 현이 지판에 충돌하지 않는 최대 한계의 진폭을 의미합니다. 개방현의 최대 진폭(Maximum Open-String Amplitude, O.Ampmax)과 운지현의 최대 진폭(Maximum Stopped-String Amplitude, Ampmax)으로 나눌 수 있으며, 두 값의 합을 '합계 최대 진폭(Total Maximum Amplitude, T.Ampmax)'으로 정의합니다.
버징은 개방현에서도 운지현에서도 모두 발생할 수 있으므로 양측을 모두 고려한 '합계 최대 진폭'이 클 수록 좋습니다.
본 연구에서 현의 진폭은 현의 길이에 비례하는 것으로 가정하였습니다. 운지현의 경우 운지점을 브릿지 쪽으로 옮기면 현의 길이가 짧아지므로 진폭 또한 작아져 최대 진폭을 단 하나의 숫자로 표시할 수 없습니다. 따라서 운지현의 최대 진폭은, 현의 길이를 개방현의 현 길이로 환산하였을 때의 진폭으로 정의합니다.
예를 들면, 개방현의 길이가 100 이고 그때의 진폭이 10 이라고 가정했을 때, 첫번째 운지점에서 현의 길이가 90 이 되었다면 그때의 진폭은 9 가 됩니다. 이러한 비례에 따라, 운지현 길이를 개방현 길이로 환산했을 때의 최대 한계 진폭이 운지현의 최대 진폭입니다.
■ 지판-현 각도 (α)
개방현의 양 끝점은 지판과 떨어져 있지만 운지현은 손가락에 의해 한쪽 끝이 지판과 닿아있습니다. 이때 운지점에서 지판의 접선과 주진동부의 현이 이루는 각도를 '지판-현 각도(Fingerboard-String Angle, α)' 로 정의합니다. (이하, 각도 α) - Fig.2 -
그리고, 주진동부 현의 운지점에서의 포락선 끝단 각도를 β라고 할 때, 진폭은 현 길이에 비례하므로 각도 β는 운지점의 위치에 상관없이 항상 일정합니다. (이하, 각도 β) - Fig.3 -
따라서, 각도 β가 각도 α보다 크면 충돌이 발생합니다. 각도 α가 클수록 운지현의 최대 진폭이 커지게 되므로, 만약 운지현의 각도 α가 일정하지 않고 변화한다면 그중 가장 작은 값, 즉 '최소 지판-현 각도(Minimum Fingerboard-String Angle, αmin)' 에 의해 운지현의 최대 진폭이 결정됩니다.
■ 지판-현 각도 변화폭 (|Δα|)
운지현의 경우, 지판의 전 구간에 있어서 각도 α가 일정한 곡선이 가장 이상적인 스쿠프 곡선일 수 있습니다. 지판의 전 구간에서 각도 α가 일정하다는 것은, 지판을 필요 없이 더 깎거나 덜 깎지 않았고 최대 진폭에 완전히 부합하는 곡선이라는 것을 의미합니다. 따라서 이는 최대 진폭 관점에서 볼 때 가장 효율적이고 이상적인 곡선이 됩니다. 하지만 실제 바이올린에서는 지판 전 구간에서 각도 α가 일정할 수 없으므로 각도 α의 변화폭(Angle Variation, |Δα|)이 가장 작은 곡선이 실질적인 이상적 곡선이 됩니다.
* 만약, |Δα| 과 αmin 가 동일한 두 개의 곡선이 있다면 각도 α의 평균값이 작은 쪽이 더 이상적입니다.
■ 임계점 (Crit.Pos)
개방현에서, 현의 진폭이 점점 커져서 지판에 처음 닿는 지판 위의 점을 '임계점(Critical Point, Crit.Pos)'으로 정의하였습니다. 지판 끝단과 현의 거리가 멀수록 임계점은 너트 쪽으로 이동하고, 임계점의 위치가 동일하다면 임계점과 현의 간격이 클수록 개방현의 최대 진폭이 커집니다.
현과 지판은 서로 수평이 아니므로 개방현의 임계점은 현의 중간점에서 좀 더 너트 쪽에 위치합니다.운지현의 최대 진폭은 αmin 에 의해 결정되지만 개방현에서 αmin 는 무의미합니다.
■ 면적 계수 (AF)
폭과 깊이가 동일한 곡선의 모양을 비교하기 위한 지표로 '면적 계수(Area Factor, AF)' 를 사용합니다. 이는 곡선의 충만한 정도(오목한 또는 볼록한 정도)를 나타내며 다음의 식으로 정의합니다.
면적 계수 = 곡선의 면적 / 곡선을 감싸는 가장 작은 직사각형의 면적 (1)
즉, AF 는 곡선을 감싸는 가장 작은 직사각형의 면적을 '1' 이라고 가정했을 때의 곡선의 면적이며, AF 가 1 이라면 직사각형과 동일한 모양이 되고, 0.6 이라면 곡선이 직사각형 면적의 60%를 채우고 있다는 뜻입니다. - Fig.4 -
* 면적 계수 AF는 바이올린 아치 관련 보고서에서 사용한 ‘절대 충만도 지수(Absolute Fullness Index, AFI)'와 동일한 개념입니다.
AF값이 클 수록 곡선은 더 큰 면적을 가지게 되므로 더 충만하다 또는 충만도가 높다고 말할 수 있습니다. 따라서 AF 는 폭과 깊이 만으로는 작성할 수 없는 곡선을 작성할 때 모양을 결정하기 위한 파라미터로 사용되며, 여러가지 곡선을 서로 비교할 때 공통적인 지표로 사용됩니다.
■ 두 곡선의 결합(연결)
대부분의 곡선은 정점의 위치를 바꿀 수가 없습니다. 이 문제를 해결하기 위해서 두 개의 곡선을 정점에서 이어 붙이는 방법을 사용합니다. 정점을 연결점으로 하여 좌우측에 폭이 다른 곡선을 사용하는 것입니다. 이때, 서로 다른 종류의 곡선을 사용한다면 각 곡선이 가진 장점만을 취하여 더 좋은 스쿠프 곡선을 만들어 낼 수 있으며, 정점의 위치를 자유롭게 이동시킬 수 있다는 이점도 얻을 수 있습니다. 이때 두 곡선의 연결점이 스쿠프의 정점이 되며 두 곡선의 깊이는 같아야 합니다.
로그 나선, 원뿔 곡선, 멱함수 곡선과 사인 곡선을 결합한 것을 '결합 곡선(Combined Curve)' 으로 정의합니다. 단, 좌우 곡선이 동일 종류인 경우에는 결합 곡선이라 부르지 않고 해당 곡선의 이름을 그대로 사용하며, 좌우 곡선의 종류가 다른 경우에만 결합 곡선이라는 명칭을 사용합니다.
Fig.5는 두 개의 곡선을 이어 붙이는 방법을 설명합니다. 폭이 다른 두 개의 곡선을 작성한 후 각각 절반으로 자르고, 한쪽씩 가져와서 이어 붙입니다.
단, 이 방법은 기본적으로 좌우 대칭 곡선에만 가능하므로 로그 나선에는 적용할 수 없습니다. 따라서 로그 나선의 경우에는 다른 방법을 사용합니다. (3.2.3 장 참고)
두 곡선이 결합(연결)되는 지점을 '연결점(Junction)' 으로 정의하며, 연결점은 곧 스쿠프 곡선의 정점이 됩니다.
연결점(스쿠프 정점)에서 너트까지의 구간을 편의상 '좌측 곡선(Left Curve)', 연결점에서 브릿지쪽 끝단까지의 구간을 '우측 곡선(Right Curve)' 으로 표현하겠습니다.
좌우측 곡선의 재료로 여러 가지 곡선을 사용할 수 있지만, 우측은 사인 곡선으로 고정하고 좌측 곡선만 바꾸어 가면서 시뮬레이션을 실시합니다. 우측 곡선으로 사인 곡선을 선택한 이유는 3.1장에서 설명합니다.
3. 후보 곡선
시뮬레이션에 사용된 곡선은 다음과 같습니다.
사인 곡선
로그 나선 계열 : 로그 나선, 회전된 로그 나선, 로그-사인 결합 곡선
원뿔 곡선 계열 : 쌍곡선-사인, 포물선-사인, 타원호-사인 결합 곡선
멱함수 곡선 계열 : 멱(저)-사인, 멱(중)-사인, 멱(고)-사인 결합 곡선
사인 곡선은 결합 곡선의 우측 곡선으로도 사용됩니다.
원뿔 곡선(쌍곡선과 타원호)과 멱함수 곡선은 정점의 위치와 깊이를 고정한 채 면적 계수(AF)를 바꾸어 곡선의 충만도를 조절할 수 있습니다. 포물선은 정점의 위치와 깊이가 정해지면 모양이 하나뿐이므로 AF를 바꿀 수 없습니다(AF = 2/3). 포물선을 경계로 쌍곡선과 멱(저)는 포물선보다 덜 충만하고, 타원호와 멱(고)는 더 충만합니다.
* 멱함수 곡선의 '저/중/고'는 AF의 크기, 즉 충만도를 구분하는 표시일 뿐입니다.
■ 후보 곡선의 선정 기준
결합 곡선의 좌측 곡선으로 쓸 후보는 다음 네 가지 조건을 기준으로 골랐습니다.
a. 정점에서 기울기가 0이고, 정점을 중심으로 좌우 대칭일 것
: 정점에서 기울기가 0이어야 우측의 사인 곡선과 꺾임 없이 이어집니다(C¹ 연속). 좌우 대칭이면 곡선을 정점에서 잘라 한쪽 절반만 쓸 수 있고, 그 절반의 모양이 반폭과 깊이만으로 정해지므로 곡선들을 같은 조건에서 비교할 수 있습니다.
b. 정점에서 끝단까지 단조롭게 변할 것
: 지판의 스쿠프는 하나의 오목한 골이어야 합니다. 도중에 다시 오르내리는 곡선은 골 안에 또 다른 굴곡을 만들므로 제외합니다.
c. 반폭과 깊이를 고정한 채 충만도(AF)를 연속적으로 바꿀 수 있을 것
: 이상적인 곡선의 충만도는 미리 알 수 없습니다. 그래서 하나의 변수로 충만도를 바꿀 수 있는 곡선군이어야 그중에서 가장 좋은 곡선(At)을 찾을 수 있습니다.
d. 수식이 단순하여 계산과 제작이 쉬울 것
이 기준에 따라 원뿔 곡선(쌍곡선·포물선·타원호)과 멱함수 곡선을 좌측 곡선의 후보로 삼았습니다. 두 곡선군은 모두 변수 하나(원뿔은 잘라 쓰는 범위, 멱함수는 지수)로 충만도를 바꿀 수 있고, 포물선(AF = 2/3)을 공통으로 포함합니다.
기준을 모두 만족하지 않지만 포함한 곡선도 있습니다.
로그 나선: 좌우 대칭이 아니지만, 운지점 위치와 관계없이 각도 α가 일정하다는 이상적인 성질을 가진 곡선이라 비교의 기준으로 포함했습니다. 결합 곡선에서는 정점 좌측만 사용합니다.
사인 곡선: 충만도가 2/π로 고정되어 기준 c를 만족하지 않습니다. 하지만 모든 결합 곡선의 우측 곡선으로 쓰이므로, 기준 곡선으로 함께 비교했습니다.
■ 후보에서 제외한 곡선
원호, 사이클로이드, 현수선: 반폭과 깊이가 정해지면 모양이 하나로 정해져 충만도를 바꿀 수 없습니다(기준 c). 또 바이올린족 악기처럼 깊이가 반폭보다 훨씬 작은 경우에는 모두 포물선과 거의 같은 모양(AF ≈ 2/3)이 되므로, 포물선으로 대표할 수 있습니다.
스플라인, 베지어 곡선 등 자유 곡선: 모양을 정하는 변수가 많아 하나의 곡선군으로 정리할 수 없고, 결과가 변수를 어떻게 정하느냐에 따라 달라지므로 체계적인 비교가 어렵습니다(기준 c, d).
아래에서는 각 곡선을 간단히 알아보고, 4장 이후에서 곡선들을 일괄 비교하여 어떤 곡선이 가장 이상적인지 알아보겠습니다.
3.1. 사인 곡선
사인 곡선은 반주기의 사인 파형을 스쿠프 곡선으로 사용한 것으로, AF = 2/π ≈ 0.637로 고정되어 있습니다. 좌우 대칭 곡선이므로 반폭이 다른 두 사인 곡선을 정점에서 이어 붙여 정점의 위치를 조절할 수 있습니다.
■ 우측 곡선으로서의 사인 곡선
정상적인 지오메트리에서는, 우측 곡선 구간에 있어서 각도 α는 브릿지 쪽으로 이동할수록 점점 커지고 지판 끝단에서 최대 각도를 가지게 됩니다. 최소 각도 αmin에 의해 최대 진폭이 결정되고, αmin은 대부분 좌측 곡선 위에 위치하게 되며, 그보다 큰 각도를 가지는 우측 곡선에서는 최대한 현에 가까워지는 것이 핵심입니다.
Fig.6은 AF를 최소로 줄인 쌍곡선(Hb)과 사인 곡선(Sn), 포물선(Pb)을 우측 곡선으로 사용했을 때의 모습입니다. 정점의 위치는 지판의 중앙(Gap.3/6 위치)이며, Gap.4/6과 5/6 지점의 숫자는 현과 지판의 간격을 나타내고 있습니다. 그림에서는 쌍곡선(적색)이 가장 현에 가깝습니다. 하지만 이것은 정점에서 과도하게 꺾여 있어 지판 곡선으로는 사용할 수 없습니다.
따라서 결합 곡선의 우측부에는, 현과의 간격이 좁으면서 정점에서 매끄럽게 이어지고 수학적으로도 단순하여 작성이 간편한 사인 곡선이 가장 합리적이라 판단하여, 이후 모든 결합 곡선의 우측부에는 사인 곡선을 사용합니다.
3.2. 로그 나선 계열
3.2.1. 로그 나선
로그 나선(Logarithmic Spiral)은 나선 위의 어느 지점에서든 그 점과 원점을 직선으로 연결했을 때, 그 직선과 나선의 진행 방향이 이루는 각도가 항상 일정한 곡선을 말합니다.
지판의 스쿠프 곡선이 로그 나선이라면, 지판의 어느 지점을 운지해도 운지점에서 주진동부의 현과 지판의 접선이 이루는 각도 α가 항상 일정하며 다음의 수식으로 정의할 수 있습니다.
g(r) = α · r · ln( S / r ) (2)
* g(r) : 지판 위의 임의의 지점에서 개방현까지의 수직 거리
* α : 지판 위의 임의의 지점에서 주진동부 현과 지판 접선이 이루는 각 (rad)
* r : 브릿지에서 지판 위의 임의의 지점까지의 거리
* S : 현 길이 (브릿지에서 너트까지)
위의 식 (2)는 참고 문헌의 식들과 동일한 식입니다. 단, 위의 식은 지판 시작점(너트)에서의 지판-현 간격(Clearance at Nut, CLR.Nut)을 '0'으로 가정하고 있습니다. 바이올린의 경우에는 이 값이 '0'이 아니므로 로그 나선을 바이올린 지판에 적용하려면 식을 아래와 같이 수정해야 합니다.
g(r) = α · r · ln( A / r ) (3)
A = S · exp( Cn / ( α · S ) ) (4)
* A : 브릿지에서 나선-개방현 교점까지의 거리
* Cn : 지판 시작점에서의 지판-현 간격 (CLR.Nut)
Cn(=CLR.Nut)이 '0'이 아닐 때는 나선과 개방현이 만나는 교점을 너트에서 브릿지의 반대 방향으로 이동시켜서, 결과적으로 지판의 시작점(너트)에서는 현과 벌어진 상태로 곡선이 시작하게 됩니다.
그러나 위의 식들은 모두 브릿지에서부터 측정한 거리를 사용하고 있습니다(브릿지의 x좌표 = 0). 개념적 통일을 위해서 너트의 위치를 '0'으로 가정하고, 거리를 x축(지판의 시작점과 끝점을 잇는 직선) 위에서 측정하면 식은 다음처럼 바뀝니다.
g(x) = α · ( P − x ) · ln( ( P + e ) / ( P − x ) ) (5)
e = P · [ exp( Cn / ( α · P ) ) − 1 ] (6)
* g(x) : 지판 위의 임의의 지점에서 개방현까지의 수직 거리
* x : 너트에서 지판 위의 임의의 지점까지의 거리 (x = 0이 너트)
* P : 현 길이 S를 x축에 투영한 길이, P = S·F / √( F² + (Cf − Cn)² )
* P − x : 지판 위의 임의의 지점에서 브릿지까지의 거리
* e : 너트에서 나선-개방현 교점까지의 거리
또한 각도 α는 다음과 같이 구할 수 있습니다.
α = ( Cf − u·Cn/P ) / ( u · ln( P/u ) ), u = P − F (7)
* Cf : 지판 끝단에서의 지판-현 간격 (CLR.FB)
* F : 지판 길이
* 바이올린의 지오메트리에서 P와 S의 차이는 0.01% 이하이므로 P ≈ S로 보아도 무방합니다.
■ 로그 나선의 특성
Fig.7은 바이올린 4번 현의 기준 조건*에서 지판에 위의 로그 나선을 적용한 예입니다. 지판의 어느 곳을 운지해도 각도 α는 항상 3.02°로 일정한 것을 볼 수 있습니다. (그래프를 세로로 확대한 것이므로 실제 각도 3.02°보다 크게 보입니다)
* 바이올린 4번 현의 기준 조건 : 현 길이 330, 지판 길이 270, 지판 시작점/끝점-현 간격 0.5/5.5
Fig.3에서 본 바와 같이, 운지현의 경우 운지점 이동에 의해 현 길이가 변해도 운지점에서 포락선의 각도 β는 항상 일정하므로, 로그 나선을 사용한다면 지판의 전 구간에서 최대 진폭을 유지할 수 있으며, 지판-현 간격이 일부 구간에서 필요 이상으로 벌어지거나 모자라는 일이 발생하지 않습니다. 즉, 지판의 스쿠프 곡선으로는 로그 나선이 최적의 곡선이 될 수 있습니다.
하지만 이 로그 나선에도 단점이 존재합니다. 수학적 정의에 따라, 정점의 위치는 오직 현과 지판의 길이에 의해 결정되며, 정점의 깊이는 현과 지판의 길이와 지판 시작점과 끝점에서의 현과 지판의 간격(클리어런스)에 의해서 결정됩니다. 즉, 정점의 위치와 깊이를 변경할 수 없습니다.
4번 현 기준 조건으로 로그 나선을 계산하면,
정점의 위치 : 152.7mm
정점의 깊이 : 2.75mm
각도 α : 3.02° (지판 전 구간 동일)
라는 단 하나의 로그 나선이 생성됩니다.
위의 결과값을 보면, 안타깝게도 로그 나선은 정점의 깊이가 너무 깊어 바이올린 지판의 스쿠프 곡선으로는 사용할 수 없음을 알 수 있습니다.
그러나, 지판의 모든 지점에서 각도 α가 일정하다는 로그 나선의 성질은 스쿠프 곡선으로는 큰 장점이라고 볼 수 있습니다. 따라서 다음 절에서는 로그 나선을 지판에 적용할 수 있도록 로그 나선의 깊이를 실제 악기 수준으로 낮춘 경우에 대해서 살펴보겠습니다.
3.2.2. 회전된 로그 나선
원하는 정점의 깊이를 가진 로그 나선을 작성한 후에, 지판 시작점을 회전축으로 지판 끝단과 현의 간격(Clearance at Fingerboard End, CLR.FB)이 원하는 값이 되도록 회전시킵니다. 이렇게 완성된 곡선을 '회전된 로그 나선(Rotated Logarithmic Spiral)'으로 정의합니다.
예를 들어 원하는 CLR.FB가 5.5, 정점 깊이가 0.7이라면, 정점의 깊이가 0.7인 로그 나선(회색 점선 곡선)을 작성한 후에 CLR.FB가 5.5가 되도록 곡선을 회전시키는 것입니다(녹색 실선 곡선). - Fig.8 -
로그 나선은 지판 끝단과 현의 간격(CLR.FB)이 멀수록 정점의 깊이가 깊어지는 성질을 가지고 있으므로(연동됨), 먼저 원하는 정점의 깊이가 나오도록 CLR.FB 값을 설정하여 곡선을 만든 후에 다시 원하는 CLR.FB 값이 되도록 그 곡선을 회전시키는 것입니다.
■ 회전된 로그 나선의 특성
Fig.9는 회전된 로그 나선의 각도 α를 보여 주고 있습니다. 운지점이 브릿지 쪽으로 이동할수록 각도는 계속 증가하고 있습니다.
즉, 로그 나선을 회전시키면 로그 나선의 장점이라 말했던 '지판 전 구간에서 현과 지판 접선의 각도가 일정하다'는 성질을 잃어버리게 됩니다. 바꾸어 말하면, 로그 나선을 사용하는 의미가 사라집니다.
따라서, 혹시 지판의 스쿠프 곡선으로 로그 나선을 사용한 바이올린이 있다면 그것은 로그 나선의 의미와 목적을 잃어버린 회전된 로그 나선일 수밖에 없으며, 만약 각도 α를 일정하게 유지하기 위한 목적으로 로그 나선을 사용했다면 그것은 잘못된 판단임을 알 수 있습니다.
3.2.3. 로그-사인 결합 곡선
로그 나선은 정점이 너무 깊어 사용할 수 없으며, 회전된 로그 나선은 각도 α가 변하므로 목적이 사라지고, 또한 둘 모두 정점의 위치를 조절할 수 없다는 문제를 가지고 있었습니다.
이번에는, 위의 로그 나선의 문제점을 일부 보완한 '로그-사인 결합 곡선(Logarithmic-Sine Combined Curve)' 에 대하여 살펴보겠습니다.
이 곡선은, 너트 쪽 부위(좌측 곡선)에는 로그 나선을, 브릿지 쪽 부위(우측 곡선)에는 사인 곡선을 사용하여 두 곡선을 이어 붙인 것으로, 다음과 같은 방법으로 작성할 수 있습니다. - Fig.10 -
(A) 개방현과 스쿠프가 없는 직선 형태의 지판을 작성
(B) 직선 지판을 원하는 정점의 깊이만큼 아래로 평행 이동시킨(Offset) 가상선을 작성
(C) 지판 시작점을 지나면서 가상선에 접하는 로그 나선을 작성
(모든 구간에서 각도 α가 일정하며 하나의 곡선만 존재한다.)
(D) 로그 나선과 가상선의 접점을 정점(연결점)으로 삼는다.
(E) 로그 나선 정점의 우측부를 사인 곡선으로 교체
완성된 로그-사인 결합 곡선은, 좌측부의 각도 α는 항상 일정한 값을 가지며, 우측부는 점점 증가하는 형태를 가지게 됩니다.
수학적으로는 다음의 방법으로 작성 할 수 있습니다.
■ 로그-사인 결합 곡선의 작성 방법
x는 너트로부터의 거리, 높이는 지판의 시작점(0, 0)과 끝점(F, 0)을 잇는 직선(chord)을 기준으로 측정.
a. 로그 나선부 (0 ≤ x ≤ Xd)
g(x) = α·(P − x)·ln[ (P + e)/(P − x) ], e = P·[ exp( Cn/(α·P) ) − 1 ] (8)
* g(x): 현과 지판 사이의 간격
* P: 현 길이 S를 x축에 투영한 길이, P = S·F / √( F² + (Cf − Cn)² )
* Cn: 지판 시작점의 현 높이
* α: 운지점에서 지판 접선과 주진동부 현이 이루는 각 (일정)
b. α의 결정
P·α·exp[ H/(P·α) − 1 ] = H + D, H = Cn + (Cf − Cn)·P/F (9)
* D : 정점 깊이
* H : 개방현을 브릿지까지 연장한 높이
* Cf : 지판 끝점의 현 높이
* α는 수치해로 구하며, 해는 유일함
c. 정점 위치
Xd = P − (H + D)/α (10)
* Xd는 D에 의해 자동으로 결정됨 (따로 정할 수 없음)
d. 사인 곡선부 (Xd < x ≤ F)
y(x) = −D·sin[ π/2 + (π/2)·(x − Xd)/(F − Xd) ] (11)
* y(x): 지판 높이 (파인 쪽이 음수)
* 1/4 주기 사용: Xd에서 −D, F에서 0
■ 로그-사인 결합 곡선의 특성
로그-사인 결합 곡선에서는 연결점이 스쿠프의 정점이 됩니다. 로그 나선 부위는 완전하게 일정한 각도(α)를 가지며, 사인 곡선 부위는 브릿지 쪽으로 갈수록 점진적으로 각도가 커지는 특성을 가지고 있습니다. 이대로라면 로그-사인 결합 곡선이 이상적인 스쿠프 곡선일 수도 있습니다.
Fig.11은 로그-사인 결합 곡선의 실제 예이며, 회색 점선은 로그 나선을 잘라내기 전의 모습입니다.
그러나 로그-사인 결합 곡선에도 단점이 있습니다. 두 곡선이 만나는 스쿠프 정점의 위치와 깊이가 서로 연동된다는 점입니다. 즉, 깊이를 변경하면 위치가 변하고, 위치를 변경하면 깊이가 변합니다. 예를 들면, 깊이를 1.0으로 고정하고 위치를 115, 135, 155, ... 등으로 조정하는 것이 불가능하다는 뜻입니다.
Fig.12는 바이올린 4번 현 기준 조건에서 로그-사인 결합 곡선의 정점 깊이와 위치 및 최대 진폭을 나타내고 있습니다. 예를 들어, 정점 깊이를 0.7로 한다면 정점 위치는 반드시 105.26이 되어야 하며, 만약 위치를 135로 하고자 한다면 깊이는 1.63으로 할 수밖에 없습니다. (파란색 숫자는 해당 지점에서의 진폭을 의미합니다.)
즉, 정점의 위치와 깊이는 1:1 대응 관계를 가지며, 이 관계를 벗어난 조합은 존재하지 않습니다.
아래의 Fig.13과 Fig.14는 각각 로그 나선 구간과 사인 곡선 구간의 각도 α를 표시하고 있습니다. 로그 나선 구간에서는 모두 1.86°로 일정하며, 사인 곡선 구간에서는 1.86°에서 점진적으로 증가하고 있습니다.
* 정점의 깊이가 어떤 임계값을 초과하면 사인 곡선 구간에서 각도 α가 로그 나선 구간의 각도보다 더 작아지는 구간이 생겨나므로 주의해야 합니다. 그 임계값은 지오메트리에 따라 변하지만 정점의 깊이가 아주 깊은 경우에만 발생하므로 일반적인 상황에서는 염려하지 않아도 됩니다. (로그 나선의 잘라낸 우측부 곡선보다 사인 곡선이 더 평평하기 때문에 생겨나는 현상)
따라서, 로그-사인 결합 곡선이 가진 문제점은 2가지로 정리할 수 있습니다.
첫번째, 정점의 위치와 깊이가 연동되므로 독립적으로 조절할 수 없다.
두번째, 사인 곡선 구간에서는 각도α가 일정하게 유지되지 않는다.
그러나 두번째 사항은, 바이올린과 같은 클리어런스 값이 큰 악기에 있어서는 기하학적으로 절대로 해결할 수 없는 문제이므로 문제점이 아니라 악기의 특징으로 봐야 마땅할 것입니다.
따라서 로그-사인 결합 곡선의 문제점은 '정점의 위치와 깊이의 연동' 하나만 남게되며, 이런 문제가 없으면서 로그 나선과 가장 유사한 다른 곡선이 존재한다면 그것은 '지판의 이상적인 스쿠프 곡선'이 될 가능성이 아주 높습니다.
다음 절에서는 그러한 후보 곡선들에 대하여 알아보겠습니다.
3.3. 원뿔 곡선 계열
포물선, 쌍곡선, 타원(타원호), 원(원호)은 모두 원뿔 곡선(Conic Section)의 하위 개념입니다. 원뿔을 평면으로 잘랐을 때의 단면 곡선이며, 자르는 각도에 따라 곡선의 종류가 결정됩니다.
Fig.15처럼 원뿔을 밑면과 평행하게 자르면 원이 되고, 모선과 평행하게 자르면 포물선이 됩니다. 모선보다 눕혀 자르면 타원이, 모선보다 세워 자르면 쌍곡선이 나옵니다.
* 모선: 원뿔의 꼭짓점에서 밑면 가장자리로 곧게 내려오는 직선
원뿔의 뾰족한 정도(모선의 기울기)는 원뿔마다 다르지만, 곡선의 종류와 모양은 자르는 면이 모선에 대해 얼마나 기울었는가로 정해집니다. 따라서 어떤 원뿔을 쓰더라도 같은 곡선을 얻을 수 있으므로, 이하에서는 원뿔의 모양은 따로 고려하지 않습니다.
■ 곡선을 잘라 쓰는 방법과 AF
지판 스쿠프에는 이 곡선들의 정점 부근 일부 구간만 잘라서 사용합니다. 먼저 정점에서 어디까지 자를지를 비율로 정하고, 잘라낸 조각을 가로·세로로 늘리거나 줄여 원하는 반폭과 깊이에 맞춥니다. AF는 늘리거나 줄여도 변하지 않으므로, 잘라 쓰는 비율로만 정해집니다.
포물선은 모든 포물선이 서로 닮은꼴이므로, 어느 구간을 잘라 써도 AF가 2/3로 일정합니다. 따라서 반폭과 깊이가 정해지면 포물선은 단 하나로 정해집니다.
쌍곡선과 타원은 잘라 쓰는 비율에 따라 AF가 달라집니다. 사용하는 구간이 정점 쪽으로 좁아질수록 둘 다 포물선에 가까워지고, AF도 2/3에 가까워집니다. 포물선을 경계로 타원은 포물선보다 더 충만하고, 쌍곡선은 덜 충만합니다.
반폭과 깊이를 그대로 두고 AF를 바꾸면 자르는 각도도 따라 바뀌지만, 각도가 AF를 정하는 것은 아닙니다.
각 곡선이 가질 수 있는 AF는 다음과 같습니다.
포물선: AF = 2/3 ≈ 0.667 (고정)
쌍곡선: 0.5 < AF < 2/3
타원호: 2/3 < AF < π/4
원은 타원의 특수한 경우입니다. 반폭과 깊이가 정해지면 하나로 정해지며, AF는 깊이/반폭 비율에 따라 2/3 ~ π/4 사이의 값을 가집니다. 깊이가 반폭보다 훨씬 작으면 포물선과 거의 같습니다.
쌍곡선과 타원호는 이처럼 AF를 조절해 곡선의 충만도를 바꿀 수 있습니다. 단, 반타원 전체를 사용하면(AF = π/4) 양 끝단의 접선이 수직이 되므로, 타원은 반드시 정점 부근의 일부만 사용해야 합니다. 그래서 타원호의 AF 범위에서 π/4는 제외됩니다.
Fig.16에서, 위의 직선은 개방현을, 아래의 두 곡선은 AF 값이 다른 두 개의 쌍곡선(지판)을 나타내고 있습니다. 하나는 설정 가능한 최대 AF 값으로, 또 하나는 최소 AF 값으로 작성되었으며, AF 값이 클수록 더 충만해지는 것을 알 수 있습니다.
그리고, 원뿔 곡선 역시 좌우 대칭 곡선이므로, 반폭이 다른 두 곡선을 정점에서 이어 붙이는 방법으로 정점의 위치를 조절할 수 있습니다. - Fig.5 -
3.3.1. 원뿔-사인 결합 곡선
로그-사인 결합 곡선의 '정점의 위치와 깊이의 연동 문제'를 해결하기 위하여 '원뿔-사인 결합 곡선(Conic-Sine Combined Curve)' 을 고안하였습니다.
좌측 곡선의 종류에 따라 쌍곡선-사인(Hyperbola-Sine), 포물선-사인(Parabola-Sine), 타원호-사인(Ellipse-Sine) 결합 곡선으로 나눕니다.
■ 원뿔-사인 결합 곡선의 작성 방법
x는 너트로부터의 거리, 높이는 지판의 시작점(0, 0)과 끝점(F, 0)을 잇는 직선(chord)을 기준으로 측정.
a. 원뿔 곡선부 (0 ≤ x ≤ Xd)
y(x) = − D/(r − 1) · [ r − √(1 − k·v²) ], v = (x − Xd)/Xd, r = √(1 − k) (12)
* D, Xd: 정점 깊이와 위치 (각각 지정)
* k < 0 쌍곡선, k = 0 포물선 (y = −D·(1 − v²)), k > 0 타원호
b. k의 결정
[ r/2 − Λ(s)/(2s) ] / (r − 1) = A*, s = √|k|, Λ = asinh (k < 0), asin (k > 0) (13)
* A* : 목표 면적 계수 (기본값) = 쌍곡선 AFa, 포물선 AFb, 타원호 AFc (4.3장 참조)
* (최적) 원뿔-사인 : |Δα|가 최소가 되는 AF를 원뿔 곡선 계열 안에서 탐색
* k는 수치해로 구하며, 해는 유일함
c. 기준 면적 계수 AFl (=AFa)의 계산
AFa = [ (1 − 3ρ²)/4 − (1 + ln ρ)·(1/2 − ρ) ] / [ (ρ − 1 − ln ρ)·(1 − ρ) ] (14)
ρ = exp[ −1 + (1 − β)·ρ ], β = D/(D + H) (15)
* AFa : 같은 조건의 로그-사인 결합 곡선이 갖는 로그 나선부(좌측)의 면적 계수
* H : 로그-사인 결합 곡선과 동일
* ρ : 0 < ρ < 1에서 수치해로 구함
d. 사인 곡선부 (Xd < x ≤ F)
( 로그-사인 결합 곡선과 동일 )
3.4. 멱함수 곡선 계열
멱함수 곡선(Power Curve)은 포물선 y = −D·(1 − v²)의 지수 2를 임의의 실수 p로 바꾼 곡선입니다. 원뿔 곡선이 아니므로 원뿔을 자르거나 곡선의 일부를 잘라 쓰는 개념이 없습니다. 항상 정점에서 y = 0이 되는 지점까지의 같은 구간을 쓰고, 모양은 지수 p 하나로 조절합니다.
AF와 지수 p는 AF = p/(p + 1)의 관계로 일대일 대응합니다. p = 2이면 포물선과 완전히 같고(AF = 2/3), p가 2보다 작으면 정점이 뾰족해져 덜 충만해지며, p가 2보다 크면 바닥이 평평해져 더 충만해집니다. - Fig.17 -
각 구간의 AF는 다음과 같습니다.
p < 2: 0.5 < AF < 2/3 (멱(저))
p = 2: AF = 2/3 (멱(중), 포물선)
p > 2: 2/3 < AF < 1 (멱(고))
양 끝단의 기울기는 p·D/반폭으로 항상 유한하므로, 타원처럼 끝단의 접선이 수직이 되는 제약이 없습니다. 따라서 원뿔 곡선 계열이 넘을 수 없는 π/4보다 큰 AF도 만들 수 있습니다(프로그램 상한 0.900, p = 9). 반대로 p ≤ 1(AF ≤ 0.5)이면 정점에서 기울기가 0이 되지 않아 꺾이므로 사용할 수 없습니다.
같은 AF라도 멱함수 곡선과 원뿔 곡선은 모양이 다르므로, 두 계열은 서로 다른 곡선으로 취급합니다.
원뿔 곡선과 마찬가지로, 반폭이 다른 두 곡선을 정점에서 이어 붙이는 방법으로 정점의 위치를 조절할 수 있습니다.
3.4.1. 멱함수-사인 결합 곡선
멱함수-사인 결합 곡선(Power-Sine Combined Curve)은 원뿔-사인 결합 곡선의 좌측 곡선을 멱함수 곡선으로 바꾼 곡선으로, AF에 따라 멱(저)-사인, 멱(중)-사인, 멱(고)-사인 결합 곡선으로 나눕니다.
■ 멱함수-사인 결합 곡선의 작성 방법
x는 너트로부터의 거리, 높이는 지판의 시작점(0, 0)과 끝점(F, 0)을 잇는 직선(chord)을 기준으로 측정.
a. 멱함수 곡선부 (0 ≤ x ≤ Xd)
y(x) = − D·(1 − |v|^p), v = (x − Xd)/Xd (16)
* D, Xd: 정점 깊이와 위치 (각각 지정)
* p = 2: 포물선
b. p의 결정
p = A*/(1 − A*) (17)
* A* : 목표 면적 계수 (기본값) = 멱(저) AFa, 멱(중) AFb, 멱(고) AFc (4.3장 참조)
* (최적) 멱-사인 : |Δα|가 최소가 되는 AF를 멱함수 계열 안에서 탐색 (0.5 < AF ≤ 0.900)
* 수치해 불필요 (닫힌 식)
c. 기준 면적 계수 AFl (=AFa)의 계산
( 원뿔-사인 결합 곡선과 동일 )
d. 사인 곡선부 (Xd < x ≤ F)
( 로그-사인 결합 곡선과 동일 )
4. 비교 방법
4.1. 비교 조건
모든 곡선은 다음의 공통 지오메트리에서 비교합니다.
현 길이 330, 지판 길이 270
지판 시작점/끝점의 현 간격: 1번 현 0.3/3.5, 4번 현 0.5/5.5
정점 깊이: 1번 현 0.3, 4번 현 0.7
* 정확한 비교를 위해서 '충돌 제외 구간(Exclusion Zone, Excl Zone)'은 '0'으로 설정하였습니다. 이전 연구(±10mm)와는 설정이 달라, 같은 조건이라도 최대 진폭 값이 조금 작게 나옵니다.
곡선 사이의 비교는 정해진 비교 지점(4.2장)에서 하고, 그 결과가 다른 조건에서도 성립하는지는 시뮬레이터의 Amplitude & |Δα| Map으로 확인합니다. 이 맵은 두 종류입니다. 정점 깊이–위치 맵은 CLR.FB를 고정한 채 정점의 깊이와 위치를 바꾸고, 정점 깊이–CLR.FB 맵은 정점 위치를 고정한 채(본 연구에서는 지판 중앙인 135mm) 정점 깊이와 CLR.FB를 바꿉니다.
4.2. 비교 단계
로그-사인 결합 곡선은 정점의 깊이와 위치가 연동되어 특정한 조합에서만 존재하며, 이를 '특별 조합(Special Combination)'으로 정의합니다. 따라서 비교는 다음 2단계로 나누어 실시하며, 각 단계에서 1번 현과 4번 현을 따로 비교합니다.
Step | String 1 (Vertex Depth 0.3) | String 4 (Vertex Depth 0.7) |
Step 1: Special Combination | Vertex Position 91.94 | Vertex Position 105.26 |
Step 2: General Positions | Vertex Position 115 / 135 / 155 | |
Table 1: Comparison Steps and Vertex Positions
1단계는 로그-사인 결합 곡선이 존재하는 유일한 위치입니다. 로그-사인 결합 곡선은 좌측 구간 전체에서 각도 α가 일정하므로, 이 조건에서 로그-사인 결합 곡선에 가까운 성과를 내는 곡선일수록 이상적인 곡선일 가능성이 큽니다.
2단계는 같은 깊이에서 정점을 옮긴 조건입니다. 로그-사인 결합 곡선은 이 위치에서 존재할 수 없으므로 비교에서 제외하고, 나머지 곡선 중에서 가장 우수한 곡선을 찾습니다.
4.3. 곡선의 분류
충만도를 조절할 수 있는 곡선들은 로그-사인 결합 곡선의 로그 나선부 AF(AFl)를 기준으로 AF를 정하고, 다음과 같이 분류하였습니다.
* Abbreviation : Sn=Sine, Lg=Logarithmic, Cn=Conic, Hb=Hyperbola, Pb=Parabola, Ep=Ellipse, Pw=Power, Lo=Low, Md=Middle, Hi=High, At=Auto, C□=Conic Hb/Pb/Ep, P□=Power Lo/Md/Hi
Group | Curve | Notation | AF of the Left Curve |
|---|---|---|---|
Base | Sine (Sine-Sine) | Sn | AFs = 2/π ≈ 0.637 (fixed) |
Logarithmic-Sine | Lg | AFl = AF of the log-spiral section (variable) | |
Group a | Hyperbola-Sine Power(Low)-Sine | Cn-Hb Pw-Lo | AFa = AFl (variable) |
Group b | Parabola-Sine Power(Middle)-Sine | Cn-Pb Pw-Md | AFb = 2/3 ≈ 0.667 (fixed) |
Group c | Ellipse-Sine Power(High)-Sine | Cn-Ep Pw-Hi | AFc = AFb+(AFb-AFa) (variable) |
Group d | (Optimal) Conic-Sine (Optimal) Power-Sine | At-C□ At-P□ | AFd = AF with the minimum |Δα| (variable) |
Table 2: Classification of Curves
기본군은 전체 비교의 기준이 되는 곡선입니다.
a군은 로그 나선부의 AF를 그대로 쓰고, c군은 b군(2/3)을 기준으로 a군과 대칭인 AF를 가집니다. 멱(중)-사인 결합 곡선은 지수 p = 2인 포물선이므로 포물선-사인 결합 곡선과 같은 곡선입니다.
AFl(= AFa)은 지오메트리와 정점 깊이에 따라 달라지므로, a군과 c군의 AF도 함께 바뀝니다. AFd는 여기에 정점 위치에 따라서도 달라집니다.
이상적인 곡선의 AF가 a·b·c군의 값과 정확히 일치한다는 보장은 없습니다. 그래서 원뿔-사인과 멱-사인 결합 곡선에 대해 각 계열 안에서 |Δα|가 최소가 되는 AF를 자동으로 탐색하여 d군으로 두었습니다.
■ d군의 표기 (At-□□)
a·b·c군의 곡선 이름(Cn-Hb, Pw-Lo 등)은 AF 영역의 이름이기도 합니다. 예를 들어 쌍곡선-사인(Cn-Hb)은 AF가 2/3보다 작은 쌍곡선 영역에 속하는 여러 곡선 중에서, AF = AFa인 곡선 하나를 고른 것입니다.
d군(At)은 각 계열의 탐색 범위 전체에서 |Δα|가 가장 작은 AF를 찾아 곡선 하나를 얻은 것입니다. 이때 찾은 AF가 어느 영역에 들어가느냐에 따라 뒤의 두 글자를 붙입니다.
Family | Search Range | AF < 2/3 | AF = 2/3 | AF > 2/3 |
Conic (At-C□) | 0.505 ~ 0.780 | At-CH (Hyperbola side) | At-CP (Parabola) | At-CE (Ellipse side) |
Power (At-P□) | 0.505 ~ 0.900 | At-PL (Low side) | At-PM (Middle) | At-PH (High side) |
Table 3: Notation of the Optimal Curves (At-□□)
따라서 At-CH와 Cn-Hb는 같은 쌍곡선 영역의 곡선이지만, AF가 서로 다른 곡선입니다.
At-CH는 |Δα|가 최소가 되는 AF이고, Cn-Hb는 AFa입니다. 뒤의 두 글자는 "탐색 결과가 어느 영역에서 나왔는가"를 나타낼 뿐이며, 별도의 곡선 종류가 아닙니다.
4.4. 비교 항목
1장의 세 조건은 다음 항목으로 평가합니다.
Condition | Indicator |
|---|---|
Condition 1 (Carving Efficiency) | Angle Range (|Δα|) |
Condition 2 (Maximum Amplitude) | Total Maximum Amplitude (T.Ampmax) |
Separate Condition (Design Freedom) | Vertex position and depth can be set independently |
Table 4: Evaluation Criteria
조건 1 : 운지현의 최대 진폭은 αmin 한 점에서 정해지므로, 각도 α가 αmin 보다 큰 구간은 필요 이상으로 깎인 구간입니다. |Δα|는 이 여분의 크기를 나타내며, 0이면 모든 운지점에서 필요한 만큼만 깎인 상태입니다. 즉 조건 1은 현과의 거리 자체가 아니라, 최대 진폭 대비 지판을 깎은 효율로 평가합니다.
* 정점의 위치와 깊이가 같으면 좌측 구간의 각도 α 평균은 거의 같으므로, |Δα|가 작을수록 αmin이 커져 합계 최대 진폭에도 유리합니다.
조건 2 : 버징은 개방현과 운지현 모두에서 발생하므로, 두 최대 진폭을 합한 합계 최대 진폭을 지표로 사용합니다. 개방현의 최대 진폭은 임계점에서의 지판-현 간격에 따라 정해지고, 운지현의 최대 진폭은 최소 각도 αmin 에 따라 정해집니다. 따라서 합계 최대 진폭은 이 두 요소를 함께 반영합니다.
별도 조건은 로그-사인 결합 곡선을 제외한 모든 곡선이 만족합니다. 로그-사인 결합 곡선은 이 조건을 만족하지 않으므로, 비교의 기준 곡선으로만 사용합니다.
따라서 |Δα|가 가장 작은 곡선을 우선으로 하고, |Δα|의 차이가 0.001° 이내로 비슷한 경우에는 합계 최대 진폭이 큰 곡선을 우수한 곡선으로 판단합니다.
5. 비교 결과
이 장에서는 4장의 조건과 단계에 따라 각 곡선의 각도 변화폭(|Δα|), 합계 최대 진폭(T.Ampmax)을 비교합니다.
5.1. 비교 지점과 표기 방법
Fig.18은 정점 깊이-위치 평면에 이번 비교에 사용한 지점을 표시한 것입니다(좌: 1번 현, 우: 4번 현). 하늘색 선은 로그-사인 결합 곡선이 존재할 수 있는 정점 깊이와 위치의 조합(특별 조합)을 나타냅니다.
1단계의 비교 지점(적색 원)은 이 선 위에 있으며, 정점 깊이는 1번 현 0.3, 4번 현 0.7이고, 정점 위치는 각각 91.94, 105.26입니다. 2단계의 비교 지점(청색 사각형)은 같은 깊이에서 정점 위치를 115, 135, 155mm로 옮긴 것으로, 모두 이 선에서 벗어나 있으므로 로그-사인 결합 곡선이 존재할 수 없는 조건입니다.
이하의 비교표에서 기준 곡선은 초록색으로, 각 열에서 가장 우수한 값은 적색으로 표시하였습니다.
|Δα|는 작을수록, T.Ampmax는 클수록 우수합니다.
곡선의 우열은 4.4장의 판정 규칙에 따르며, 최적 곡선이 어떤 곡선인지 알 수 있도록 AF 값을 함께 표시하였습니다.
5.2. 1단계 : 특별 조합
1단계에서는 로그-사인 결합 곡선이 존재하는 정점 위치(1번 현 91.94, 4번 현 105.26)에서 모든 곡선을 비교하였습니다. 이 조건은 이상적인 곡선에 가장 가까운 로그-사인 결합 곡선과 다른 곡선들을 직접 비교할 수 있는 유일한 조건이며, 최적 곡선(d군)이 어떤 의미를 가지는지 확인하기 위한 것입니다.
Group | Curve | String 1 | String 4 | ||||
|Δα| | T.Ampmax | AF | |Δα| | T.Ampmax | AF | ||
Base | Logarithmic-Sine (Lg) | 0.000 | 3.65 | 0.658 | 0.000 | 6.26 | 0.656 |
Sine (Sn) | 0.075 | 3.58 | 0.637 | 0.145 | 6.13 | 0.637 | |
Group a | Hyperbola-Sine (Cn-Hb) | 0.006 | 3.64 | 0.658 | 0.015 | 6.25 | 0.656 |
Power(Low)-Sine (Pw-Lo) | 0.006 | 3.65 | 0.658 | 0.015 | 6.25 | 0.656 | |
Group b | Parabola-Sine (Cn-Pb) Power(Middle)-Sine (Pw-Md) | 0.026 | 3.64 | 0.667 | 0.061 | 6.25 | 0.667 |
Group c | Ellipse-Sine (Cn-Ep) | 0.059 | 3.63 | 0.676 | 0.141 | 6.23 | 0.677 |
Power(High)-Sine (Pw-Hi) | 0.047 | 3.63 | 0.676 | 0.113 | 6.23 | 0.677 | |
Group d | Optimal Conic-Sine (At-Cn) | 0.003 | 3.65 | 0.659-H | 0.008 | 6.25 | 0.657-H |
Optimal Power-Sine (At-Pw) | 0.005 | 3.65 | 0.656-L | 0.011 | 6.25 | 0.655-L | |
Table 5: Comparison at the Special Combination (Step 1)
■ 각도 변화폭 |Δα|
두 현 모두 |Δα|는 d군 < a군 < b군 < c군 < 사인 곡선의 순서로 커집니다. 즉 좌측 곡선의 AF가 로그 나선부의 AF(AFl)에서 멀어질수록 |Δα|가 커집니다.
|Δα|가 가장 작은 곡선은 두 현 모두 최적 원뿔-사인 결합 곡선(At-CH)입니다(1번 현 0.003°, 4번 현 0.008°). 최적 멱-사인 결합 곡선(At-PL)은 그다음으로 작지만, 그 차이가 판정 기준(0.001°)보다 크므로 At-CH가 가장 우수합니다.
같은 군 안에서는, c군에서 AF가 같더라도 멱(고)-사인이 타원호-사인보다 |Δα|가 작습니다. a군에서는 두 곡선의 차이가 없습니다. 이는 AF가 같더라도 곡선의 모양에 따라 |Δα|가 달라질 수 있음을 보여 줍니다.
■ 합계 최대 진폭 T.Ampmax
a군, b군, d군은 T.Ampmax가 로그-사인 결합 곡선과 0.01 이내로 거의 같습니다. 반면 c군은 0.02~0.03, 사인 곡선은 0.07~0.13 작습니다. |Δα|가 큰 곡선일수록 T.Ampmax가 작아지는 경향을 보여, 4.4장에서 설명한 것처럼 |Δα|가 작은 곡선이 합계 최대 진폭에서도 유리함을 확인할 수 있습니다.
■ 최적 곡선의 AF
최적 곡선의 AF는 로그 나선부의 AF(AFl)와 거의 같습니다.
1번 현 : AFl 0.658 / At-CH 0.659 / At-PL 0.656
4번 현 : AFl 0.656 / At-CH 0.657 / At-PL 0.655
즉 특별 조합에서 |Δα|가 가장 작은 곡선은 로그 나선부와 거의 같은 충만도를 가집니다. 로그 나선은 각도 α가 일정한 곡선이므로, 충만도가 같을수록 각도 분포도 로그 나선에 가까워지기 때문입니다. 흥미롭게도 원뿔 계열의 최적점은 AFl보다 조금 크고, 멱함수 계열의 최적점은 조금 작습니다. 곡선의 모양에 따라 최적점이 AFl의 양쪽으로 나뉘는 것입니다.
■ 각도 α의 분포
Fig.19는 4번 현에서 기본군과 d군 곡선의 각도 α 분포를 나타낸 것입니다. 로그-사인 결합 곡선은 지판 시작점에서 정점(연결점)까지 각도 α가 완전히 일정한 수평선으로 나타납니다. 사인 곡선은 낮은 값에서 시작해 커졌다가 다시 작아지며 큰 변화를 보입니다. d군의 두 곡선은 로그-사인 결합 곡선의 근처에서 아주 미세한 변화만 보입니다.
* 멱(저) 곡선은 정점 부근에서 곡률이 급격히 커져, 각도 α가 정점 직전에서 급하게 변합니다.
■ 1단계 결론
특별 조합에서는 최적 곡선(d군)이 로그-사인 결합 곡선에 가장 가까운 결과를 보이며, 두 현 모두 At-CH가 가장 우수합니다. 원뿔 곡선과 멱함수 곡선 모두 로그 나선을 완벽히 재현할 수는 없어 |Δα|가 0이 되지는 않지만, 그 차이는 매우 작습니다.
a·b·c군은 AF 축 위의 한 점으로서 각 계열의 최적 곡선보다 우수할 수 없습니다. 따라서 이후의 2단계 비교에서는 기본군(사인 곡선)과 d군만 비교합니다.
5.3. 2단계 : 정점 위치 115 / 135 / 155mm
2단계에서는 1단계와 같은 정점 깊이(1번 현 0.3, 4번 현 0.7)에서 정점 위치를 115, 135, 155mm로 옮겨 비교하였습니다. 이 위치들은 모두 특별 조합에서 브릿지 쪽으로 벗어나 있어 로그-사인 결합 곡선이 존재할 수 없습니다. 비교 대상은 기본군의 사인 곡선과 d군의 두 최적 곡선이며, 사인 곡선을 기준 곡선으로 하였습니다.
Curve | Vertex Position 115 | Vertex Position 135 | Vertex Position 155 | ||||||
|Δα| (°) | T.Ampmax | AF | |Δα| (°) | T.Ampmax | AF | |Δα| (°) | T.Ampmax | AF | |
Sine (Sn) | 0.234 | 3.46 | 0.637 | 0.391 | 3.37 | 0.637 | 0.567 | 3.30 | 0.637 |
Optimal Conic-Sine (At-Cn) | 0.147 | 3.58 | 0.687-E | 0.290 | 3.53 | 0.705-E | 0.457 | 3.49 | 0.718-E |
Optimal Power-Sine (At-Pw) | 0.133 | 3.61 | 0.709-H | 0.263 | 3.59 | 0.745-H | 0.419 | 3.58 | 0.773-H |
Table 6: Comparison at Vertex Positions 115 / 135 / 155 mm (Step 2, String 1)
Curve | Vertex Position 115 | Vertex Position135 | Vertex Position 155 | ||||||
|Δα| (°) | T.Ampmax | AF | |Δα| (°) | T.Ampmax | AF | |Δα| (°) | T.Ampmax | AF | |
Sine (Sn) | 0.250 | 6.00 | 0.637 | 0.528 | 5.79 | 0.637 | 0.831 | 5.63 | 0.637 |
Optimal Conic-Sine (At-Cn) | 0.107 | 6.20 | 0.669-E | 0.352 | 6.09 | 0.689-E | 0.632 | 5.98 | 0.704-E |
Optimal Power-Sine (At-Pw) | 0.102 | 6.22 | 0.676-H | 0.321 | 6.16 | 0.713-H | 0.578 | 6.13 | 0.744-H |
Table 7: Comparison at Vertex Positions 115 / 135 / 155 mm (Step 2, String 4)
■ 각도 변화폭 |Δα|
두 현의 모든 위치에서 |Δα|는 최적 멱-사인 < 최적 원뿔-사인 < 사인 곡선의 순서입니다. At-PH와 At-CE의 차이는 0.005~0.054°로 모두 판정 기준(0.001°)을 넘으므로, 2단계의 모든 조건에서 최적 멱-사인 결합 곡선이 가장 우수합니다.
정점이 브릿지 쪽으로 멀어질수록 모든 곡선의 |Δα|가 커지며, 두 최적 곡선의 차이도 커집니다. 1단계(특별 조합)에서 |Δα|가 0.01° 이하였던 것과 비교하면, 특별 조합을 벗어나면 어떤 곡선도 각도 α를 일정하게 유지하기 어렵다는 것을 알 수 있습니다.
■ 합계 최대 진폭 T.Ampmax
T.Ampmax도 |Δα|와 같은 순서로, 모든 조건에서 최적 멱-사인 결합 곡선이 가장 큽니다. 사인 곡선보다 1번 현에서 0.15~0.28, 4번 현에서 0.22~0.50 크며, 정점이 브릿지 쪽으로 갈수록 그 차이가 커집니다.
2단계에서 |Δα|와 T.Ampmax의 순위가 완전히 일치하는 데에는 이유가 있습니다. 정점에서는 지판의 기울기가 0이므로, 정점에서의 각도 α는 곡선의 종류와 무관하게 같습니다(Fig.20에서 모든 곡선이 정점의 세로줄에서 만나는 점). 정점이 특별 조합보다 브릿지 쪽에 있으면 좌측 구간에서 α가 가장 큰 곳이 정점이 되므로, |Δα|는 "정점의 α − αmin"이 됩니다. 따라서 |Δα|가 작다는 것은 곧 αmin이 크다는 것이고, αmin이 크면 운지현의 최대 진폭도 커집니다.
■ 최적 곡선의 AF
1단계에서는 최적 곡선의 AF가 로그 나선부의 AF(약 0.656~0.658, 쌍곡선·멱(저) 영역)와 거의 같았습니다. 반면 2단계에서는 모든 조건에서 2/3보다 큰 타원호·멱(고) 영역으로 옮겨 가며, 정점이 브릿지 쪽으로 갈수록 AF가 더 커집니다. 정점이 브릿지 쪽으로 옮겨 가면 너트 쪽의 긴 좌측 구간에서 현과의 간격을 유지하기 위해 더 충만한 곡선이 필요하기 때문입니다.
이때 멱함수 곡선의 AF는 원뿔 곡선보다 항상 크고(최대 0.773), 그 차이도 정점이 멀어질수록 커집니다. 원뿔 곡선은 AF를 π/4 부근까지만 만들 수 있고, 같은 AF에서도 멱(고) 곡선이 타원호보다 |Δα|가 작습니다(5.2장 c군). 이 두 가지가 합쳐져 최적 멱-사인 결합 곡선이 더 우수한 결과를 보입니다.
■ 각도 α의 분포
Fig.20과 21은 정점 위치 135mm에서 세 곡선의 각도 α 분포를 나타낸 것입니다(좌측 구간을 확대). 사인 곡선은 지판 시작점에서 α가 가장 작고 정점까지 계속 커져 변화폭이 가장 큽니다. 두 최적 곡선은 지판 시작점 쪽의 α를 끌어올려 전체 변화를 줄이며, 최적 멱-사인 결합 곡선은 αmin이 가장 높고 좌측 구간의 대부분에서 가장 평평한 분포를 보입니다.
■ 2단계 결론
특별 조합을 벗어난 모든 조건(두 현 × 세 위치)에서 최적 멱-사인 결합 곡선(At-PH)이 |Δα|와 T.Ampmax 모두에서 가장 우수합니다. 그 우위는 정점이 특별 조합에서 멀어질수록 커집니다.
5.4. 종합 : 원뿔 vs 멱
5.2장과 5.3장의 8개 비교 조건에서, 두 최적 곡선(At-Cn, At-Pw)의 결과를 정리하면 Table 8과 같습니다.
String | Vertex Position | At-Cn |Δα| (AF) | At-Pw |Δα| (AF) | Better | |
Step 1 | 1 | 91.94 | 0.003 (0.659-H) | 0.005 (0.656-L) | Conic |
4 | 105.26 | 0.008 (0.657-H) | 0.011 (0.655-L) | Conic | |
Step 2 | 1 | 115 | 0.147 (0.687-E) | 0.133 (0.709-H) | Power |
135 | 0.290 (0.705-E) | 0.263 (0.745-H) | Power | ||
155 | 0.457 (0.718-E) | 0.419 (0.773-H) | Power | ||
4 | 115 | 0.107 (0.669-E) | 0.102 (0.676-H) | Power | |
135 | 0.352 (0.689-E) | 0.321 (0.713-H) | Power | ||
155 | 0.632 (0.704-E) | 0.578 (0.744-H) | Power |
Table 8: Summary of Comparison between the Optimal Conic-Sine and Power-Sine Combined Curves (All results were decided by |Δα|)
모든 조건에서 |Δα|의 차이가 판정 기준(0.001°)보다 커서 |Δα|로 판정되었습니다. T.Ampmax도 모든 조건에서 |Δα|로 판정된 쪽이 같거나 더 큽니다.
■ 비교 지점에서의 결과
특별 조합(1단계)에서는 최적 원뿔-사인 결합 곡선(At-CH)이 우세하지만, 그 차이는 |Δα| 0.001~0.003°로 매우 작고 T.Ampmax는 같습니다. 반면 특별 조합을 벗어난 모든 위치(2단계)에서는 최적 멱-사인 결합 곡선(At-PH)이 우세합니다. |Δα|는 0.005~0.054°, T.Ampmax는 0.02~0.15 더 좋으며, 정점이 특별 조합에서 멀어질수록 그 차이가 커집니다.
■ 전체 영역에서의 결과
비교 지점 사이와 바깥에서도 같은 결론이 성립하는지 확인하기 위해, 두 최적 곡선을 모든 정점 깊이-위치 조합에서 비교하였습니다. Fig.22와 Fig.23은 시뮬레이터의 Amplitude & |Δα| Map에서 Best Curve 모드로 그린 그림(이하 Best Curve 맵)입니다. 초록색은 최적 원뿔-사인, 파란색은 최적 멱-사인 결합 곡선이 우세한 영역이며, 색이 진할수록 두 곡선의 |Δα| 차이가 큽니다.
최적 원뿔-사인 결합 곡선이 우세한 영역은 로그-사인 결합 곡선이 존재하는 선(특별 조합) 바로 오른쪽의 초록색 좁은 띠뿐이며, 이 띠 안에서도 두 곡선의 차이는 작습니다(옅은 색). 그 밖의 영역은 선의 왼쪽(너트 쪽)과 오른쪽(브릿지 쪽) 모두 최적 멱-사인 결합 곡선이 우세하고, 특별 조합에서 멀어질수록 그 차이가 크게 벌어집니다(진한 색). 일반적인 바이올린 지판은 정점을 지판 중앙 부근에 두므로, 대부분 이 영역에 속합니다.
■ 정점 깊이–CLR.FB 평면에서의 결과
정점 위치를 135mm에 고정하고, 정점 깊이와 CLR.FB를 바꾸어 가며 두 최적 곡선을 비교하였습니다(Fig.24, 25). CLR.FB가 바뀌면 로그-사인 결합 곡선의 정점 위치도 바뀌므로, 이 평면에도 정점 위치가 135mm가 되는 특별 조합이 대각선 방향으로 존재합니다.
결과는 정점 깊이–위치 평면과 같습니다. 최적 원뿔-사인 결합 곡선이 우세한 영역은 이 특별 조합을 따라 대각선으로 놓인 좁은 띠뿐이고(예: 깊이 0.7에서 CLR.FB 약 2.5~3.0mm), 그 밖의 영역은 최적 멱-사인 결합 곡선이 우세합니다. 두 현의 결과도 거의 같습니다. 일반적인 바이올린의 CLR.FB(1번 현 약 3.5mm, 4번 현 약 5.5mm)와 정점 깊이는 이 띠에서 벗어나 있으므로, 이 평면에서도 최적 멱-사인 결합 곡선이 우세합니다.
■ 멱함수 곡선이 우세한 이유
특별 조합을 벗어나면 최적 곡선의 AF는 2/3보다 큰 영역(타원호·멱(고))으로 옮겨 갑니다. 이 영역에서 멱(고) 곡선은 같은 AF라도 타원호보다 |Δα|가 작습니다(5.2장의 c군 결과). 또 원뿔 곡선은 AF를 π/4 아래까지만 만들 수 있지만, 멱함수 곡선은 그 제약이 없습니다. 이 두 가지 이유로, 정점이 특별 조합에서 멀어질수록 멱함수 곡선의 우위가 커집니다.
이는 정점이 지판 중앙 부근일 때 U자에 가까운 곡선이 더 유리하다는 이전 연구의 결과와 같은 방향입니다. 다만 충만할수록 계속 좋아지는 것이 아니라, 정점의 위치와 깊이에 따라 |Δα|가 가장 작아지는 최적의 충만도가 존재합니다.
■ 종합 결론
두 최적 곡선은 모두 다른 곡선들보다 우수하며, 로그-사인 결합 곡선이 존재하는 특별 조합에서는 로그-사인 결합 곡선과 거의 같은 결과를 보입니다.
특별 조합의 좁은 띠에서는 최적 원뿔-사인 결합 곡선이 조금 우세하지만, 그 차이는 무시할 수 있을 만큼 작습니다.
그 밖의 거의 모든 영역, 즉 실제 악기에서 정점을 둘 수 있는 대부분의 위치에서는 최적 멱-사인 결합 곡선이 |Δα|와 합계 최대 진폭 모두에서 가장 우수합니다.
이 결과는 정점 깊이–위치 평면뿐 아니라, 정점 위치를 고정하고 CLR.FB를 바꾼 경우에도 같습니다.
따라서 본 연구의 평가 기준(|Δα|, 합계 최대 진폭, 정점의 위치와 깊이의 조절 가능 여부)으로 볼 때, 특별 조합을 제외한 대부분의 조건에서 '지판의 이상적인 스쿠프 곡선'에 가장 가까운 곡선은, 그 조건에서 |Δα|가 최소가 되도록 AF(지수 p)를 정한 최적 멱-사인 결합 곡선입니다.
6. 고찰
6.1. 비올라와 첼로에서의 확인
5장에서 얻은 결론이 다른 악기에서도 성립하는지 확인하기 위해, 같은 방법을 비올라와 첼로에 적용하였습니다. 계산 조건은 다음과 같습니다.
비올라: 현 길이 380, 지판 길이 305
1번 현: CLR.Nut / CLR.FB 0.4 / 3.5, 정점 깊이 0.5
4번 현: CLR.Nut / CLR.FB 0.8 / 5.5, 정점 깊이 0.9
정점 위치: 특별 조합, 지판 중앙(152.5), 중앙 ±25mm
첼로: 현 길이 695, 지판 길이 580
1번 현: CLR.Nut / CLR.FB 0.6 / 5.0, 정점 깊이 0.7
4번 현: CLR.Nut / CLR.FB 1.0 / 7.0, 정점 깊이 1.6
정점 위치: 특별 조합, 지판 중앙(290), 중앙 ±40mm
결과는 바이올린과 같습니다.
특별 조합: 네 경우 모두 최적 원뿔-사인 결합 곡선이 조금 우세하지만, 두 최적 곡선의 |Δα| 차이는 0.001~0.003°로 매우 작습니다. 합계 최대 진폭은 로그-사인 결합 곡선과 거의 같습니다(차이 0.01 이하).
그 밖의 위치: 특별 조합에 아주 가까운 한 곳을 빼면, 모든 위치에서 최적 멱-사인 결합 곡선이 우세합니다. 이 결과는 특별 조합의 너트 쪽과 브릿지 쪽 모두에서 같고, 특별 조합에서 멀어질수록 차이가 커집니다. 예를 들어 비올라 4번 현의 중앙+25mm에서는 |Δα|가 0.04°, 합계 최대 진폭이 0.12 차이 납니다.
예외: 비올라 1번 현의 127.5mm는 특별 조합(125.3mm)에서 2mm 떨어진 곳이라 원뿔이 우세했습니다.
첼로 4번 현의 중앙−40mm(250mm)에서는 |Δα|는 최적 멱-사인 결합 곡선이 확실히 작았지만(0.051° vs 0.075°), 합계 최대 진폭은 최적 원뿔-사인 결합 곡선이 0.03 컸습니다. 이 경우는 4.4장의 우선순위(|Δα| 우선)에 따라 멱이 우세한 것으로 판정하였습니다.
특별 조합의 위치: 첼로 4번 현처럼 정점이 깊으면 특별 조합(267mm)이 지판 중앙(290mm)에 가까워집니다. 그래서 중앙에서도 두 최적 곡선의 차이가 작았습니다(|Δα| 0.0014°). 그래도 멱이 우세합니다.
따라서 비올라와 첼로에서도, 특별 조합 부근을 제외한 대부분의 정점 위치에서 최적 멱-사인 결합 곡선이 가장 우수합니다.
6.2. 같은 최대 진폭을 주는 정점 깊이와 위치
Amplitude & |Δα| Map에서 곡선을 하나 선택하면, 그 곡선의 최대 진폭이 등고선으로 표시됩니다. 같은 등고선 위의 조합은 모두 같은 최대 진폭을 가지므로, 이 맵을 이용하면 최대 진폭을 유지하면서 지판의 치수를 좀 더 자유롭게 정할 수 있습니다. 또 등고선의 기울기를 보면 어느 값을 바꾸는 것이 최대 진폭에 더 큰 영향을 주는지 알 수 있습니다. 이하는 최적 멱-사인 결합 곡선(At-Pw)을 선택한 맵에서 확인한 결과입니다.
정점 깊이–위치 맵에서, 정점 깊이를 0.1mm 깊게 하면 합계 최대 진폭은 약 0.2 커집니다(1번 현 0.22, 4번 현 0.20~0.22). 반면 정점 위치에 따른 변화는 이보다 훨씬 작아, 최대 진폭은 주로 정점 깊이로 정해집니다.
이전 연구에서는 포물선 스쿠프에서 정점이 지판의 약 1/3 부근일 때 최대 진폭이 가장 크고, 브릿지 쪽으로 옮길수록 최대 진폭이 크게 줄어든다는 것을 확인했습니다. 최적 멱-사인 결합 곡선에서도 경향은 같아서, 합계 최대 진폭은 특별 조합(4번 현, 깊이 0.7에서 105.26mm) 부근에서 가장 크고 브릿지 쪽으로 갈수록 줄어듭니다.
다만 최적 곡선은 정점 위치마다 AF가 맞춰지므로 그 감소폭이 작습니다. 정점을 105.26mm에서 155mm로 옮길 때 포물선은 0.43 줄어들지만, 최적 멱-사인 결합 곡선은 0.12 줄어드는 데 그칩니다. 반면 |Δα|는 정점 위치에 크게 좌우되어, 브릿지 쪽으로 10mm 옮길 때마다 약 0.06~0.13°씩 커집니다.
따라서 최대 진폭과 |Δα| 모두의 관점에서, 정점은 브릿지 쪽보다 특별 조합에 가까운 너트 쪽에 두는 것이 유리하며, 이는 이전 연구의 결론과 같습니다. 이때 최대 진폭은 주로 정점 깊이로 조절합니다.
6.3. 같은 최대 진폭을 주는 정점 깊이와 CLR.FB
이전 연구에서는 포물선 스쿠프에서 같은 최대 진폭을 주는 지판 클리어런스와 정점 깊이의 조합이 여러 개 존재함을 확인하였습니다. 여기서는 최적 멱-사인 결합 곡선(At-Pw)을 선택한 정점 깊이–CLR.FB 맵(정점 위치 135mm)에서 같은 관계를 확인합니다.
CLR.FB를 0.5mm 높이면 합계 최대 진폭은 약 0.38~0.40 커지고, 정점 깊이를 0.1mm 깊게 하면 약 0.2 커집니다. 즉 정점 깊이 0.1mm는 CLR.FB 약 0.26~0.28mm와 같은 효과를 가지며, 이 맵의 등고선은 두 값을 서로 맞바꿀 수 있는 관계를 보여 줍니다.
String | Vertex Depth / CLR.FB | T.Ampmax | |Δα| |
1 | 0.3 / 3.5 | 3.59 | 0.263 |
0.5 / 3.0 | 3.62 | 0.132 | |
4 | 0.7 / 5.5 | 6.16 | 0.321 |
0.9 / 5.0 | 6.17 | 0.197 |
Table 9: Combinations of Vertex Depth and CLR.FB with Nearly Equal Maximum Amplitude (Vertex Position 135)
예를 들어 4번 현에서 0.7/5.5 대신 0.9/5.0 으로 하면, 합계 최대 진폭은 같으면서 지판 끝에서의 현 높이를 0.5mm 낮출 수 있고, |Δα|도 작아집니다. 1번 현도 0.3/3.5 대신 0.5/3.0으로 하면 같은 결과를 얻습니다.
다만 정점 깊이를 늘리는 것은 지판이 그만큼 더 휜다는 뜻이며, CLR.FB를 바꾸는 것은 악기 전체의 지오메트리가 바뀌는 일입니다. 따라서 이 맵은 정답을 주기보다는, 같은 최대 진폭 안에서 연주 편의성(현 높이)과 가공량(깊이) 사이의 균형을 정하는 데 참고하는 것이 좋습니다.
6.4. 연구의 한계
본 연구의 결과는 다음과 같은 가정과 범위 안에서 얻은 것입니다.
진폭 모델: 현의 진폭은 현의 길이에 비례한다고 가정했습니다. 실제 현의 진동에는 현의 강성, 감쇠, 활의 위치와 압력 등이 함께 작용합니다. 따라서 최대 진폭의 숫자 자체보다는, 곡선끼리 어느 쪽이 더 큰지를 비교하는 데 의미가 있습니다.
지판의 형상: 지판의 세로 방향 단면(스쿠프 곡선)만 다루었습니다. 지판의 가로 방향 곡률(래디어스)과 현마다 다른 높이 차이는 고려하지 않았습니다.
우측 곡선: 모든 결합 곡선의 우측 곡선을 사인 곡선으로 고정했습니다(3.1장). 이는 최대 진폭에는 거의 영향을 주지 않지만, 정점과 지판 끝 사이(우측 곡선)의 현 높이에는 영향을 줍니다.
판정 기준: 최적 곡선(At)은 운지현의 |Δα|만으로 찾았으며, 개방현은 합계 최대 진폭을 통해서만 반영했습니다.
충돌 제외 구간: 곡선 사이의 차이를 정확히 보기 위해 충돌 제외 구간을 0으로 두었습니다. 실제 연주에서는 운지점 바로 옆의 미세한 충돌은 들리지 않으므로, 최대 진폭의 절댓값은 실제보다 조금 작게 계산됩니다.
정성적 평가: 연주자의 감각에 의한 평가는 포함하지 않았습니다.
가공 정밀도: 곡선 사이의 차이 중 일부(|Δα| 0.01° 이하, 최대 진폭 0.01~0.02)는 실제 지판 가공의 정밀도보다 작습니다. 이 정도의 차이는 이론적인 우열로만 보는 것이 타당합니다.
7. 결론
본 연구에서는 지판을 필요 이상으로 깎지 않을 것(|Δα|), 현의 최대 진폭이 클 것(합계 최대 진폭), 정점의 위치와 깊이를 자유롭게 정할 수 있을 것을 이상적인 스쿠프 곡선의 조건으로 정하고, 여러 후보 곡선을 비교하였습니다.
로그 나선은 모든 운지점에서 각도 α가 일정한 이상적인 성질을 가지지만, 정점이 너무 깊어 그대로는 쓸 수 없습니다. 이를 회전시키면 그 성질을 잃습니다. 로그-사인 결합 곡선은 이 성질을 지판의 좌측 구간에서 살려 낸 곡선이지만, 정점의 위치와 깊이가 서로 묶여 있어 특정한 조합(특별 조합)에서만 존재합니다.
정점의 위치와 깊이를 자유롭게 정할 수 있는 원뿔-사인 결합 곡선과 멱-사인 결합 곡선에 대해, 각 계열에서 |Δα|가 최소가 되는 최적 곡선을 찾아 비교한 결과는 다음과 같습니다.
특별 조합에서는 두 최적 곡선 모두 로그-사인 결합 곡선과 거의 같은 결과를 보이며, 이때 최적 곡선의 충만도(AF)는 로그 나선부의 충만도와 거의 같습니다. 두 곡선 중에서는 최적 원뿔-사인 결합 곡선이 조금 우세하지만, 그 차이는 무시할 수 있을 만큼 작습니다.
특별 조합을 벗어난 대부분의 조건에서는 최적 멱-사인 결합 곡선이 |Δα|와 합계 최대 진폭 모두에서 가장 우수하며, 특별 조합에서 멀어질수록 그 차이가 커집니다. 이 결과는 정점 깊이–위치 평면과 정점 깊이–CLR.FB 평면 모두에서 같고, 비올라와 첼로에서도 같습니다.
정점이 지판 중앙 부근에 있으면 최적 곡선은 포물선보다 충만한 쪽(AF > 2/3)으로 옮겨 갑니다. 이는 U자에 가까운 곡선이 유리하다는 이전 연구의 결과와 같은 방향입니다. 다만 충만할수록 계속 좋아지는 것이 아니라, 조건마다 최적의 충만도가 존재합니다.
따라서 본 연구의 평가 기준으로 볼 때, 특별 조합을 제외한 대부분의 조건에서 이상적인 스쿠프 곡선에 가장 가까운 곡선은, 그 조건에서 |Δα|가 최소가 되도록 지수 p를 정한 최적 멱-사인 결합 곡선입니다.
지판의 치수와 관련해서는 다음을 확인하였습니다.
합계 최대 진폭은 주로 정점 깊이로 정해지며, 정점 위치의 영향은 상대적으로 작습니다. 반면 |Δα|는 정점 위치에 크게 좌우됩니다. 최대 진폭과 |Δα| 모두의 관점에서 정점은 브릿지 쪽보다 특별 조합에 가까운 너트 쪽에 두는 것이 유리하며, 이는 이전 연구의 결론과 같습니다.
정점 깊이 0.1mm는 지판 클리어런스(CLR.FB) 약 0.26~0.28mm와 같은 최대 진폭 효과를 가집니다. 따라서 정점을 조금 더 깊게 하면, 같은 최대 진폭을 유지하면서 지판 끝의 현 높이를 낮출 수 있습니다.
시뮬레이터의 Amplitude & |Δα| Map을 이용하면, 주어진 지오메트리에서 어느 곡선이 유리한지(Best Curve 맵)와, 같은 최대 진폭을 주는 치수의 조합(등고선)을 한눈에 확인할 수 있습니다.
본 연구의 결과는 단순화된 진폭 모델과 정량적 지표에 근거한 것입니다. 실제 지판에서의 효과는 연주자의 평가를 통해 확인할 필요가 있습니다.
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